Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ absolute(2^((x-3)/2)-1)

Gráfico de la función y = absolute(2^((x-3)/2)-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       | x - 3    |
       | -----    |
       |   2      |
f(x) = |2      - 1|
f(x)=∣2x−32−1∣f{\left(x \right)} = \left|{2^{\frac{x - 3}{2}} - 1}\right| 
f = Abs(2^((x - 3)/2) - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010020
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
∣2x−32−1∣=0\left|{2^{\frac{x - 3}{2}} - 1}\right| = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=3x_{1} = 3
Solución numérica
x1=3x_{1} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en Abs(2^((x - 3)/2) - 1).
∣−1+2−32∣\left|{-1 + 2^{- \frac{3}{2}}}\right|
Resultado:
f(0)=1−24f{\left(0 \right)} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{4}
Punto:
(0, 1 - sqrt(2)/4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x−32log⁡(2)sign⁡(2x2−32−1)2=0\frac{2^{\frac{x - 3}{2}} \log{\left(2 \right)} \operatorname{sign}{\left(2^{\frac{x}{2} - \frac{3}{2}} - 1 \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−146.50324745652x_{1} = -146.50324745652
x2=−74.5032474565204x_{2} = -74.5032474565204
x3=−100.50324745652x_{3} = -100.50324745652
x4=−106.50324745652x_{4} = -106.50324745652
x5=−128.50324745652x_{5} = -128.50324745652
x6=−112.50324745652x_{6} = -112.50324745652
x7=−98.5032474565204x_{7} = -98.5032474565204
x8=−148.50324745652x_{8} = -148.50324745652
x9=−120.50324745652x_{9} = -120.50324745652
x10=−114.50324745652x_{10} = -114.50324745652
x11=−80.5032474565204x_{11} = -80.5032474565204
x12=−132.50324745652x_{12} = -132.50324745652
x13=−150.50324745652x_{13} = -150.50324745652
x14=−108.50324745652x_{14} = -108.50324745652
x15=−130.50324745652x_{15} = -130.50324745652
x16=−84.5032474565204x_{16} = -84.5032474565204
x17=−92.5032474565204x_{17} = -92.5032474565204
x18=−126.50324745652x_{18} = -126.50324745652
x19=−138.50324745652x_{19} = -138.50324745652
x20=−102.50324745652x_{20} = -102.50324745652
x21=−90.5032474565204x_{21} = -90.5032474565204
x22=−116.50324745652x_{22} = -116.50324745652
x23=−134.50324745652x_{23} = -134.50324745652
x24=−122.50324745652x_{24} = -122.50324745652
x25=−86.5032474565204x_{25} = -86.5032474565204
x26=−110.50324745652x_{26} = -110.50324745652
x27=−124.50324745652x_{27} = -124.50324745652
x28=−156.50324745652x_{28} = -156.50324745652
x29=−118.50324745652x_{29} = -118.50324745652
x30=−96.5032474565204x_{30} = -96.5032474565204
x31=−158.50324745652x_{31} = -158.50324745652
x32=−76.5032474565204x_{32} = -76.5032474565204
x33=−104.50324745652x_{33} = -104.50324745652
x34=−152.50324745652x_{34} = -152.50324745652
x35=−78.5032474565204x_{35} = -78.5032474565204
x36=−136.50324745652x_{36} = -136.50324745652
x37=−94.5032474565204x_{37} = -94.5032474565204
x38=−82.5032474565204x_{38} = -82.5032474565204
x39=−140.50324745652x_{39} = -140.50324745652
x40=−144.50324745652x_{40} = -144.50324745652
x41=−154.50324745652x_{41} = -154.50324745652
x42=−142.50324745652x_{42} = -142.50324745652
x43=−88.5032474565204x_{43} = -88.5032474565204
x44=−160.50324745652x_{44} = -160.50324745652
Signos de extremos en los puntos:
(-146.50324745652043, 1)

(-74.50324745652043, 0.999999999997839)

(-100.50324745652043, 1)

(-106.50324745652043, 1)

(-128.50324745652043, 1)

(-112.50324745652043, 1)

(-98.50324745652043, 0.999999999999999)

(-148.50324745652043, 1)

(-120.50324745652043, 1)

(-114.50324745652043, 1)

(-80.50324745652043, 0.99999999999973)

(-132.50324745652043, 1)

(-150.50324745652043, 1)

(-108.50324745652043, 1)

(-130.50324745652043, 1)

(-84.50324745652043, 0.999999999999932)

(-92.50324745652043, 0.999999999999996)

(-126.50324745652043, 1)

(-138.50324745652043, 1)

(-102.50324745652043, 1)

(-90.50324745652043, 0.999999999999992)

(-116.50324745652043, 1)

(-134.50324745652043, 1)

(-122.50324745652043, 1)

(-86.50324745652043, 0.999999999999966)

(-110.50324745652043, 1)

(-124.50324745652043, 1)

(-156.50324745652043, 1)

(-118.50324745652043, 1)

(-96.50324745652043, 0.999999999999999)

(-158.50324745652043, 1)

(-76.50324745652043, 0.99999999999892)

(-104.50324745652043, 1)

(-152.50324745652043, 1)

(-78.50324745652043, 0.99999999999946)

(-136.50324745652043, 1)

(-94.50324745652043, 0.999999999999998)

(-82.50324745652043, 0.999999999999865)

(-140.50324745652043, 1)

(-144.50324745652043, 1)

(-154.50324745652043, 1)

(-142.50324745652043, 1)

(-88.50324745652043, 0.999999999999983)

(-160.50324745652043, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
No cambia el valor en todo el eje numérico
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(2xδ(2x2+124−1)+2x2+12sign⁡(2x2+124−1))log⁡(2)216=0\frac{\left(2^{x} \delta\left(\frac{2^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}}}{4} - 1\right) + 2^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}} \operatorname{sign}{\left(\frac{2^{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}}}{4} - 1 \right)}\right) \log{\left(2 \right)}^{2}}{16} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞∣2x−32−1∣=1\lim_{x \to -\infty} \left|{2^{\frac{x - 3}{2}} - 1}\right| = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞∣2x−32−1∣=∞\lim_{x \to \infty} \left|{2^{\frac{x - 3}{2}} - 1}\right| = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función Abs(2^((x - 3)/2) - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(∣2x−32−1∣x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{2^{\frac{x - 3}{2}} - 1}\right|}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(∣2x−32−1∣x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{2^{\frac{x - 3}{2}} - 1}\right|}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
∣2x−32−1∣=∣2−x2−32−1∣\left|{2^{\frac{x - 3}{2}} - 1}\right| = \left|{2^{- \frac{x}{2} - \frac{3}{2}} - 1}\right|
- No
∣2x−32−1∣=−∣2−x2−32−1∣\left|{2^{\frac{x - 3}{2}} - 1}\right| = - \left|{2^{- \frac{x}{2} - \frac{3}{2}} - 1}\right|
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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