Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
-sqrt(-1+x^2)
-
(e^x)*sin(x)
-
-exp(-2*x)-exp(3*x)
-
-exp(-3*x)-exp(2*x)
-
Expresiones idénticas
- ln(x)/x(uno -2x)
- ln(x) dividir por x(1 menos 2x)
- ln(x) dividir por x(uno menos 2x)
- lnx/x1-2x
- ln(x) dividir por x(1-2x)
-
Expresiones semejantes
- ln(x)/x(1+2x)
-
Expresiones con funciones
- ln
- ln(2x^3-3x^2)
- ln(x^2–6x+10)
- ln*(x^3+4x)
- ln(x)/x/sqrt(x)
- ln(-sinx-cosx)/(-sinx-cosx)
Gráfico de la función y = ln(x)/x(1-2x)
Solución
Ha introducido
[src]
log(x)
f(x) = ------*(1 - 2*x)
x
$$f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(1 - 2 x\right)$$
f = (log(x)/x)*(1 - 2*x)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(1 - 2 x\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.5$$
$$x_{2} = 1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(1 - 2 x\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.5$$
$$x_{2} = 1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(1 - 2 x\right) \left(- \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}\right) - \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{W\left(2 e\right)}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{W\left(2 e\right)}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{W\left(2 e\right)}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{W\left(2 e\right)}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(1 - 2 x\right) \left(- \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}\right) - \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{W\left(2 e\right)}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
/W(2*E)\
2*(1 - W(2*E))*log|------|
W(2*E) \ 2 /
(------, --------------------------)
2 W(2*E) Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{W\left(2 e\right)}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{W\left(2 e\right)}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{W\left(2 e\right)}{2}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{4 \log{\left(x \right)} - 4 - \frac{\left(2 x - 1\right) \left(2 \log{\left(x \right)} - 3\right)}{x}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = W\left(e^{\frac{3}{2}}\right)$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{4 \log{\left(x \right)} - 4 - \frac{\left(2 x - 1\right) \left(2 \log{\left(x \right)} - 3\right)}{x}}{x^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 \log{\left(x \right)} - 4 - \frac{\left(2 x - 1\right) \left(2 \log{\left(x \right)} - 3\right)}{x}}{x^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[W\left(e^{\frac{3}{2}}\right), \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, W\left(e^{\frac{3}{2}}\right)\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{4 \log{\left(x \right)} - 4 - \frac{\left(2 x - 1\right) \left(2 \log{\left(x \right)} - 3\right)}{x}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = W\left(e^{\frac{3}{2}}\right)$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{4 \log{\left(x \right)} - 4 - \frac{\left(2 x - 1\right) \left(2 \log{\left(x \right)} - 3\right)}{x}}{x^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 \log{\left(x \right)} - 4 - \frac{\left(2 x - 1\right) \left(2 \log{\left(x \right)} - 3\right)}{x}}{x^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[W\left(e^{\frac{3}{2}}\right), \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, W\left(e^{\frac{3}{2}}\right)\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(1 - 2 x\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(1 - 2 x\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(1 - 2 x\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(1 - 2 x\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (log(x)/x)*(1 - 2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(1 - 2 x\right) \log{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(1 - 2 x\right) \log{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(1 - 2 x\right) \log{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(1 - 2 x\right) \log{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(1 - 2 x\right) = - \frac{\left(2 x + 1\right) \log{\left(- x \right)}}{x}$$
- No
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(1 - 2 x\right) = \frac{\left(2 x + 1\right) \log{\left(- x \right)}}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(1 - 2 x\right) = - \frac{\left(2 x + 1\right) \log{\left(- x \right)}}{x}$$
- No
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(1 - 2 x\right) = \frac{\left(2 x + 1\right) \log{\left(- x \right)}}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar