Sr Examen

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Gráfico de la función y = sqrt(x-1)/sqrt(x+1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
         _______
       \/ x - 1 
f(x) = ---------
         _______
       \/ x + 1 
$$f{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 1}}$$
f = sqrt(x - 1)/sqrt(x + 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(x - 1)/sqrt(x + 1).
$$\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = i$$
Punto:
(0, i)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\sqrt{x - 1}}{2 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x - 1} \sqrt{x + 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{3 \sqrt{x - 1}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{\sqrt{x - 1} \left(x + 1\right)} - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{4 \sqrt{x + 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$

$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{\frac{3 \sqrt{x - 1}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{\sqrt{x - 1} \left(x + 1\right)} - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{4 \sqrt{x + 1}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\frac{3 \sqrt{x - 1}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{\sqrt{x - 1} \left(x + 1\right)} - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{4 \sqrt{x + 1}}\right) = \infty i$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 1}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 1}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x - 1)/sqrt(x + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x - 1}}{x \sqrt{x + 1}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x - 1}}{x \sqrt{x + 1}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 1}} = \frac{\sqrt{- x - 1}}{\sqrt{1 - x}}$$
- No
$$\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 1}} = - \frac{\sqrt{- x - 1}}{\sqrt{1 - x}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar