Sr Examen
Gráfico de la función y = 9/sqrt(8*x-2*x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
9
f(x) = ---------------
____________
/ 2
\/ 8*x - 2*x
$$f{\left(x \right)} = \frac{9}{\sqrt{- 2 x^{2} + 8 x}}$$
f = 9/sqrt(-2*x^2 + 8*x)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{9}{\sqrt{- 2 x^{2} + 8 x}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{9}{\sqrt{- 2 x^{2} + 8 x}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{9 \left(4 - 2 x\right)}{\left(- 2 x^{2} + 8 x\right)^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[2, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{9 \left(4 - 2 x\right)}{\left(- 2 x^{2} + 8 x\right)^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2$$
Signos de extremos en los puntos:
___
9*\/ 2
(2, -------)
4 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[2, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{9 \sqrt{2} \left(1 - \frac{3 \left(x - 2\right)^{2}}{x \left(x - 4\right)}\right)}{2 \left(- x \left(x - 4\right)\right)^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{9 \sqrt{2} \left(1 - \frac{3 \left(x - 2\right)^{2}}{x \left(x - 4\right)}\right)}{2 \left(- x \left(x - 4\right)\right)^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{9}{\sqrt{- 2 x^{2} + 8 x}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9}{\sqrt{- 2 x^{2} + 8 x}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{9}{\sqrt{- 2 x^{2} + 8 x}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9}{\sqrt{- 2 x^{2} + 8 x}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 9/sqrt(8*x - 2*x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{9}{x \sqrt{- 2 x^{2} + 8 x}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9}{x \sqrt{- 2 x^{2} + 8 x}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{9}{x \sqrt{- 2 x^{2} + 8 x}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9}{x \sqrt{- 2 x^{2} + 8 x}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{9}{\sqrt{- 2 x^{2} + 8 x}} = \frac{9}{\sqrt{- 2 x^{2} - 8 x}}$$
- No
$$\frac{9}{\sqrt{- 2 x^{2} + 8 x}} = - \frac{9}{\sqrt{- 2 x^{2} - 8 x}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{9}{\sqrt{- 2 x^{2} + 8 x}} = \frac{9}{\sqrt{- 2 x^{2} - 8 x}}$$
- No
$$\frac{9}{\sqrt{- 2 x^{2} + 8 x}} = - \frac{9}{\sqrt{- 2 x^{2} - 8 x}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar