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Trazado el gráfico de la función/ abs((x^2-4)/(x^2+1))

Gráfico de la función y = abs((x^2-4)/(x^2+1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       | 2    |
       |x  - 4|
f(x) = |------|
       | 2    |
       |x  + 1|
f(x)=∣x2−4x2+1∣f{\left(x \right)} = \left|{\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 1}}\right| 
f = Abs((x^2 - 4)/(x^2 + 1))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101005
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
∣x2−4x2+1∣=0\left|{\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 1}}\right| = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Solución numérica
x1=2x_{1} = 2
x2=−2x_{2} = -2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en Abs((x^2 - 4)/(x^2 + 1)).
∣−4+0202+1∣\left|{\frac{-4 + 0^{2}}{0^{2} + 1}}\right|
Resultado:
f(0)=4f{\left(0 \right)} = 4
Punto:
(0, 4)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−4x2(x2−4x2+1−1)δ(x2−4)+(4x2(x2−4)(x2+1)2−4x2x2+1−x2−4x2+1+1)sign⁡(x2−4))x2+1=0\frac{2 \left(- 4 x^{2} \left(\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 1} - 1\right) \delta\left(x^{2} - 4\right) + \left(\frac{4 x^{2} \left(x^{2} - 4\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} - \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 1} + 1\right) \operatorname{sign}{\left(x^{2} - 4 \right)}\right)}{x^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞∣x2−4x2+1∣=1\lim_{x \to -\infty} \left|{\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 1}}\right| = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞∣x2−4x2+1∣=1\lim_{x \to \infty} \left|{\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 1}}\right| = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función Abs((x^2 - 4)/(x^2 + 1)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(∣x2−4x2+1∣x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 1}}\right|}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(∣x2−4x2+1∣x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 1}}\right|}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
∣x2−4x2+1∣=∣x2−4x2+1∣\left|{\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 1}}\right| = \left|{\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 1}}\right|
- Sí
∣x2−4x2+1∣=−∣x2−4x2+1∣\left|{\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 1}}\right| = - \left|{\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 1}}\right|
- No
es decir, función
es
par
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