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Trazado el gráfico de la función/ arcctg((1-x)/(1+x))

Gráfico de la función y = arcctg((1-x)/(1+x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /1 - x\
f(x) = acot|-----|
           \1 + x/
f(x)=acot⁡(1−xx+1)f{\left(x \right)} = \operatorname{acot}{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)} 
f = acot((1 - x)/(x + 1))
Gráfico de la función
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.02.0
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
acot⁡(1−xx+1)=0\operatorname{acot}{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acot((1 - x)/(1 + x)).
acot⁡(1−01)\operatorname{acot}{\left(\frac{1 - 0}{1} \right)}
Resultado:
f(0)=π4f{\left(0 \right)} = \frac{\pi}{4}
Punto:
(0, pi/4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−−1−x(x+1)2−1x+1(1−x)2(x+1)2+1=0- \frac{- \frac{1 - x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x + 1}}{\frac{\left(1 - x\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(x−1x+1−1)(−(x−1)(x−1x+1−1)(x+1)((x−1)2(x+1)2+1)+1)(x+1)2((x−1)2(x+1)2+1)=0\frac{2 \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) \left(- \frac{\left(x - 1\right) \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right) \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)} + 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2} \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1

lim⁡x→−1−(2(x−1x+1−1)(−(x−1)(x−1x+1−1)(x+1)((x−1)2(x+1)2+1)+1)(x+1)2((x−1)2(x+1)2+1))=0.5\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) \left(- \frac{\left(x - 1\right) \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right) \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)} + 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2} \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)}\right) = 0.5
lim⁡x→−1+(2(x−1x+1−1)(−(x−1)(x−1x+1−1)(x+1)((x−1)2(x+1)2+1)+1)(x+1)2((x−1)2(x+1)2+1))=0.5\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right) \left(- \frac{\left(x - 1\right) \left(\frac{x - 1}{x + 1} - 1\right)}{\left(x + 1\right) \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)} + 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2} \left(\frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + 1\right)}\right) = 0.5
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Convexa en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞acot⁡(1−xx+1)=−π4\lim_{x \to -\infty} \operatorname{acot}{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)} = - \frac{\pi}{4}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−π4y = - \frac{\pi}{4}
lim⁡x→∞acot⁡(1−xx+1)=−π4\lim_{x \to \infty} \operatorname{acot}{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)} = - \frac{\pi}{4}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=−π4y = - \frac{\pi}{4}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acot((1 - x)/(1 + x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(acot⁡(1−xx+1)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(acot⁡(1−xx+1)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
acot⁡(1−xx+1)=acot⁡(x+11−x)\operatorname{acot}{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)} = \operatorname{acot}{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}
- No
acot⁡(1−xx+1)=−acot⁡(x+11−x)\operatorname{acot}{\left(\frac{1 - x}{x + 1} \right)} = - \operatorname{acot}{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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