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Trazado el gráfico de la función/ arcctg(1/sqrt(2)*(sin(x)-cos(x)))

Gráfico de la función y = arcctg(1/sqrt(2)*(sin(x)-cos(x)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /sin(x) - cos(x)\
f(x) = acot|---------------|
           |       ___     |
           \     \/ 2      /
f(x)=acot⁡(sin⁡(x)−cos⁡(x)2)f{\left(x \right)} = \operatorname{acot}{\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{2}} \right)} 
f = acot((sin(x) - cos(x))/sqrt(2))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acot((sin(x) - cos(x))/sqrt(2)).
acot⁡(−cos⁡(0)+sin⁡(0)2)\operatorname{acot}{\left(\frac{- \cos{\left(0 \right)} + \sin{\left(0 \right)}}{\sqrt{2}} \right)}
Resultado:
f(0)=−acot⁡(22)f{\left(0 \right)} = - \operatorname{acot}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}
Punto:
(0, -acot(sqrt(2)/2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2(sin⁡(x)+cos⁡(x))2((sin⁡(x)−cos⁡(x))22+1)=0- \frac{\sqrt{2} \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)}{2 \left(\frac{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{2} + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
x2=3π4x_{2} = \frac{3 \pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
            /        ___\ 
 -pi        |  ___ \/ 2 | 
(----, -acot|\/ 2 *-----|)
  4         \        2  / 

           /        ___\ 
 3*pi      |  ___ \/ 2 | 
(----, acot|\/ 2 *-----|)
  4        \        2  /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3π4x_{1} = \frac{3 \pi}{4}
Puntos máximos de la función:
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
Decrece en los intervalos
(−∞,−π4]∪[3π4,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−π4,3π4]\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(1+2(sin⁡(x)+cos⁡(x))2(sin⁡(x)−cos⁡(x))2+2)(sin⁡(x)−cos⁡(x))(sin⁡(x)−cos⁡(x))2+2=0\frac{\sqrt{2} \left(1 + \frac{2 \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2} + 2}\right) \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)}{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2} + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3π4x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−3π4]∪[π4,∞)\left(-\infty, - \frac{3 \pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−3π4,π4]\left[- \frac{3 \pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞acot⁡(sin⁡(x)−cos⁡(x)2)=acot⁡(2⟨−1,1⟩)\lim_{x \to -\infty} \operatorname{acot}{\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{2}} \right)} = \operatorname{acot}{\left(\sqrt{2} \left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=acot⁡(2⟨−1,1⟩)y = \operatorname{acot}{\left(\sqrt{2} \left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
lim⁡x→∞acot⁡(sin⁡(x)−cos⁡(x)2)=acot⁡(2⟨−1,1⟩)\lim_{x \to \infty} \operatorname{acot}{\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{2}} \right)} = \operatorname{acot}{\left(\sqrt{2} \left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=acot⁡(2⟨−1,1⟩)y = \operatorname{acot}{\left(\sqrt{2} \left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acot((sin(x) - cos(x))/sqrt(2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(acot⁡(sin⁡(x)−cos⁡(x)2)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{2}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(acot⁡(sin⁡(x)−cos⁡(x)2)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{2}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
acot⁡(sin⁡(x)−cos⁡(x)2)=−acot⁡(−22(−sin⁡(x)−cos⁡(x)))\operatorname{acot}{\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{2}} \right)} = - \operatorname{acot}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \left(- \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \right)}
- No
acot⁡(sin⁡(x)−cos⁡(x)2)=acot⁡(−22(−sin⁡(x)−cos⁡(x)))\operatorname{acot}{\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{2}} \right)} = \operatorname{acot}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \left(- \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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