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Trazado el gráfico de la función/ arcctg(x^2-7x)

Gráfico de la función y = arcctg(x^2-7x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           / 2      \
f(x) = acot\x  - 7*x/
f(x)=acot⁡(x2−7x)f{\left(x \right)} = \operatorname{acot}{\left(x^{2} - 7 x \right)} 
f = acot(x^2 - 7*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102.5-2.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
acot⁡(x2−7x)=0\operatorname{acot}{\left(x^{2} - 7 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acot(x^2 - 7*x).
acot⁡(02−0)\operatorname{acot}{\left(0^{2} - 0 \right)}
Resultado:
f(0)=π2f{\left(0 \right)} = \frac{\pi}{2}
Punto:
(0, pi/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x−7(x2−7x)2+1=0- \frac{2 x - 7}{\left(x^{2} - 7 x\right)^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=72x_{1} = \frac{7}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(7/2, -acot(49/4))


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=72x_{1} = \frac{7}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,72]\left(-\infty, \frac{7}{2}\right]
Crece en los intervalos
[72,∞)\left[\frac{7}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(x(x−7)(2x−7)2x2(x−7)2+1−1)x2(x−7)2+1=0\frac{2 \left(\frac{x \left(x - 7\right) \left(2 x - 7\right)^{2}}{x^{2} \left(x - 7\right)^{2} + 1} - 1\right)}{x^{2} \left(x - 7\right)^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=72+349+224136x_{1} = \frac{7}{2} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{49 + 2 \sqrt{2413}}}{6}
x2=−349+224136+72x_{2} = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{49 + 2 \sqrt{2413}}}{6} + \frac{7}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−349+224136+72]∪[72+349+224136,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3} \sqrt{49 + 2 \sqrt{2413}}}{6} + \frac{7}{2}\right] \cup \left[\frac{7}{2} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{49 + 2 \sqrt{2413}}}{6}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−349+224136+72,72+349+224136]\left[- \frac{\sqrt{3} \sqrt{49 + 2 \sqrt{2413}}}{6} + \frac{7}{2}, \frac{7}{2} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{49 + 2 \sqrt{2413}}}{6}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞acot⁡(x2−7x)=0\lim_{x \to -\infty} \operatorname{acot}{\left(x^{2} - 7 x \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞acot⁡(x2−7x)=−π\lim_{x \to \infty} \operatorname{acot}{\left(x^{2} - 7 x \right)} = - \pi
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=−πy = - \pi
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acot(x^2 - 7*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(acot⁡(x2−7x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acot}{\left(x^{2} - 7 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(acot⁡(x2−7x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acot}{\left(x^{2} - 7 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
acot⁡(x2−7x)=acot⁡(x2+7x)\operatorname{acot}{\left(x^{2} - 7 x \right)} = \operatorname{acot}{\left(x^{2} + 7 x \right)}
- No
acot⁡(x2−7x)=−acot⁡(x2+7x)\operatorname{acot}{\left(x^{2} - 7 x \right)} = - \operatorname{acot}{\left(x^{2} + 7 x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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