Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arcctg(2/((x-3)^3))

Gráfico de la función y = arcctg(2/((x-3)^3))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /   2    \
f(x) = acot|--------|
           |       3|
           \(x - 3) /
f(x)=acot⁡(2(x−3)3)f{\left(x \right)} = \operatorname{acot}{\left(\frac{2}{\left(x - 3\right)^{3}} \right)} 
f = acot(2/(x - 3)^3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=3x_{1} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
acot⁡(2(x−3)3)=0\operatorname{acot}{\left(\frac{2}{\left(x - 3\right)^{3}} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acot(2/(x - 3)^3).
acot⁡(2(−3)3)\operatorname{acot}{\left(\frac{2}{\left(-3\right)^{3}} \right)}
Resultado:
f(0)=−acot⁡(227)f{\left(0 \right)} = - \operatorname{acot}{\left(\frac{2}{27} \right)}
Punto:
(0, -acot(2/27))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
6(1+4(x−3)6)(x−3)4=0\frac{6}{\left(1 + \frac{4}{\left(x - 3\right)^{6}}\right) \left(x - 3\right)^{4}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
24(−1+6(1+4(x−3)6)(x−3)6)(1+4(x−3)6)(x−3)5=0\frac{24 \left(-1 + \frac{6}{\left(1 + \frac{4}{\left(x - 3\right)^{6}}\right) \left(x - 3\right)^{6}}\right)}{\left(1 + \frac{4}{\left(x - 3\right)^{6}}\right) \left(x - 3\right)^{5}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1.87753795169063x_{1} = 1.87753795169063
x2=4.12246204830937x_{2} = 4.12246204830937
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=3x_{1} = 3

lim⁡x→3−(24(−1+6(1+4(x−3)6)(x−3)6)(1+4(x−3)6)(x−3)5)=0\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{24 \left(-1 + \frac{6}{\left(1 + \frac{4}{\left(x - 3\right)^{6}}\right) \left(x - 3\right)^{6}}\right)}{\left(1 + \frac{4}{\left(x - 3\right)^{6}}\right) \left(x - 3\right)^{5}}\right) = 0
lim⁡x→3+(24(−1+6(1+4(x−3)6)(x−3)6)(1+4(x−3)6)(x−3)5)=0\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{24 \left(-1 + \frac{6}{\left(1 + \frac{4}{\left(x - 3\right)^{6}}\right) \left(x - 3\right)^{6}}\right)}{\left(1 + \frac{4}{\left(x - 3\right)^{6}}\right) \left(x - 3\right)^{5}}\right) = 0
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,1.87753795169063]\left(-\infty, 1.87753795169063\right]
Convexa en los intervalos
[4.12246204830937,∞)\left[4.12246204830937, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=3x_{1} = 3
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞acot⁡(2(x−3)3)=π2\lim_{x \to -\infty} \operatorname{acot}{\left(\frac{2}{\left(x - 3\right)^{3}} \right)} = \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=π2y = \frac{\pi}{2}
lim⁡x→∞acot⁡(2(x−3)3)=π2\lim_{x \to \infty} \operatorname{acot}{\left(\frac{2}{\left(x - 3\right)^{3}} \right)} = \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=π2y = \frac{\pi}{2}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acot(2/(x - 3)^3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(acot⁡(2(x−3)3)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{2}{\left(x - 3\right)^{3}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(acot⁡(2(x−3)3)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{2}{\left(x - 3\right)^{3}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
acot⁡(2(x−3)3)=acot⁡(2(−x−3)3)\operatorname{acot}{\left(\frac{2}{\left(x - 3\right)^{3}} \right)} = \operatorname{acot}{\left(\frac{2}{\left(- x - 3\right)^{3}} \right)}
- No
acot⁡(2(x−3)3)=−acot⁡(2(−x−3)3)\operatorname{acot}{\left(\frac{2}{\left(x - 3\right)^{3}} \right)} = - \operatorname{acot}{\left(\frac{2}{\left(- x - 3\right)^{3}} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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