Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 1/sin(x/2)

Gráfico de la función y = 1/sin(x/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         1   
f(x) = ------
          /x\
       sin|-|
          \2/
f(x)=1sin⁡(x2)f{\left(x \right)} = \frac{1}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}} 
f = 1/sin(x/2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-25002500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=6.28318530717959x_{2} = 6.28318530717959
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1sin⁡(x2)=0\frac{1}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/sin(x/2).
1sin⁡(02)\frac{1}{\sin{\left(\frac{0}{2} \right)}}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−cos⁡(x2)2sin⁡2(x2)=0- \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=πx_{1} = \pi
x2=3πx_{2} = 3 \pi
Signos de extremos en los puntos:
(pi, 1)

(3*pi, -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
Puntos máximos de la función:
x1=3πx_{1} = 3 \pi
Decrece en los intervalos
[π,3π]\left[\pi, 3 \pi\right]
Crece en los intervalos
(−∞,π]∪[3π,∞)\left(-\infty, \pi\right] \cup \left[3 \pi, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
1+2cos⁡2(x2)sin⁡2(x2)4sin⁡(x2)=0\frac{1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}}{4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=6.28318530717959x_{2} = 6.28318530717959
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞1sin⁡(x2)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
lim⁡x→∞1sin⁡(x2)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/sin(x/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(1xsin⁡(x2))y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(1xsin⁡(x2))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1sin⁡(x2)=−1sin⁡(x2)\frac{1}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}} = - \frac{1}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}
- No
1sin⁡(x2)=1sin⁡(x2)\frac{1}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}} = \frac{1}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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