Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ sqrt(16-x^2)/x^4

Gráfico de la función y = sqrt(16-x^2)/x^4

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          _________
         /       2 
       \/  16 - x  
f(x) = ------------
             4     
            x
f(x)=16−x2x4f{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{16 - x^{2}}}{x^{4}} 
f = sqrt(16 - x^2)/x^4
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101001000000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
16−x2x4=0\frac{\sqrt{16 - x^{2}}}{x^{4}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−4x_{1} = -4
x2=4x_{2} = 4
Solución numérica
x1=−39785.5816225657x_{1} = -39785.5816225657
x2=−10161.0781669177x_{2} = -10161.0781669177
x3=13667.990949263x_{3} = 13667.990949263
x4=−26231.0921697871x_{4} = -26231.0921697871
x5=41611.4158872334x_{5} = 41611.4158872334
x6=20435.1172117486x_{6} = 20435.1172117486
x7=32291.5947258337x_{7} = 32291.5947258337
x8=−36396.4547596521x_{8} = -36396.4547596521
x9=15358.6037132749x_{9} = 15358.6037132749
x10=10291.5731358206x_{10} = 10291.5731358206
x11=−41480.2244887855x_{11} = -41480.2244887855
x12=−20304.0599193594x_{12} = -20304.0599193594
x13=−19457.6549545773x_{13} = -19457.6549545773
x14=28903.1854060709x_{14} = 28903.1854060709
x15=28056.1595567111x_{15} = 28056.1595567111
x16=−32160.4311103213x_{16} = -32160.4311103213
x17=−21150.5626311877x_{17} = -21150.5626311877
x18=−11004.221365473x_{18} = -11004.221365473
x19=27209.17008655x_{19} = 27209.17008655
x20=−33854.7801801167x_{20} = -33854.7801801167
x21=−9318.81234796079x_{21} = -9318.81234796079
x22=39069.4645068151x_{22} = 39069.4645068151
x23=33138.7616896878x_{23} = 33138.7616896878
x24=−22843.8169139366x_{24} = -22843.8169139366
x25=19588.6963580567x_{25} = 19588.6963580567
x26=38222.1729697784x_{26} = 38222.1729697784
x27=33985.9506047988x_{27} = 33985.9506047988
x28=−34701.9863967462x_{28} = -34701.9863967462
x29=23821.6548251258x_{29} = 23821.6548251258
x30=−38938.2787432516x_{30} = -38938.2787432516
x31=14513.1584198588x_{31} = 14513.1584198588
x32=4x_{32} = 4
x33=36527.633660397x_{33} = 36527.633660397
x34=−14382.2813176826x_{34} = -14382.2813176826
x35=−24537.3447048965x_{35} = -24537.3447048965
x36=12823.1593602497x_{36} = 12823.1593602497
x37=−35549.2117044653x_{37} = -35549.2117044653
x38=9449.15597677803x_{38} = 9449.15597677803
x39=24668.457986244x_{39} = 24668.457986244
x40=29750.2444905106x_{40} = 29750.2444905106
x41=25515.3149837601x_{41} = 25515.3149837601
x42=−15227.6870580544x_{42} = -15227.6870580544
x43=−17765.1957708784x_{43} = -17765.1957708784
x44=−23690.5503542027x_{44} = -23690.5503542027
x45=17896.1981273848x_{45} = 17896.1981273848
x46=21281.6339068224x_{46} = 21281.6339068224
x47=−27925.0187688001x_{47} = -27925.0187688001
x48=−12692.3877211303x_{48} = -12692.3877211303
x49=−16919.1777701103x_{49} = -16919.1777701103
x50=16204.2815179034x_{50} = 16204.2815179034
x51=−29619.0933822206x_{51} = -29619.0933822206
x52=26362.2205504835x_{52} = 26362.2205504835
x53=−13537.1614041394x_{53} = -13537.1614041394
x54=42458.7560354704x_{54} = 42458.7560354704
x55=−40632.8971305893x_{55} = -40632.8971305893
x56=18742.3846810476x_{56} = 18742.3846810476
x57=11978.7393437104x_{57} = 11978.7393437104
x58=11134.8315740397x_{58} = 11134.8315740397
x59=−16073.3316012142x_{59} = -16073.3316012142
x60=−27078.0352080686x_{60} = -27078.0352080686
x61=−30466.1783894116x_{61} = -30466.1783894116
x62=31444.4515047677x_{62} = 31444.4515047677
x63=−25384.1937702562x_{63} = -25384.1937702562
x64=−28772.0392279688x_{64} = -28772.0392279688
x65=−38090.9893410141x_{65} = -38090.9893410141
x66=−11848.0392434311x_{66} = -11848.0392434311
x67=35680.3879821797x_{67} = 35680.3879821797
x68=34833.1598557706x_{68} = 34833.1598557706
x69=37374.895687914x_{69} = 37374.895687914
x70=−37243.7143420725x_{70} = -37243.7143420725
x71=−18611.3614370965x_{71} = -18611.3614370965
x72=17050.1559318825x_{72} = 17050.1559318825
x73=40764.0867683133x_{73} = 40764.0867683133
x74=−21997.1515563141x_{74} = -21997.1515563141
x75=−42327.5629813992x_{75} = -42327.5629813992
x76=−33007.5945376195x_{76} = -33007.5945376195
x77=30597.3340188912x_{77} = 30597.3340188912
x78=22128.2352037251x_{78} = 22128.2352037251
x79=22974.911560993x_{79} = 22974.911560993
x80=−4x_{80} = -4
x81=−31313.2917189842x_{81} = -31313.2917189842
x82=39916.7693853645x_{82} = 39916.7693853645
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(16 - x^2)/x^4.
16−0204\frac{\sqrt{16 - 0^{2}}}{0^{4}}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−xx416−x2−416−x2x5=0- \frac{x}{x^{4} \sqrt{16 - x^{2}}} - \frac{4 \sqrt{16 - x^{2}}}{x^{5}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−833x_{1} = - \frac{8 \sqrt{3}}{3}
x2=833x_{2} = \frac{8 \sqrt{3}}{3}
Signos de extremos en los puntos:
      ___        ___ 
 -8*\/ 3   3*I*\/ 3  
(--------, ---------)
    3         1024   

     ___        ___ 
 8*\/ 3   3*I*\/ 3  
(-------, ---------)
    3        1024


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
No cambia el valor en todo el eje numérico
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x2x2−16−116−x2+816−x2+2016−x2x2x4=0\frac{\frac{\frac{x^{2}}{x^{2} - 16} - 1}{\sqrt{16 - x^{2}}} + \frac{8}{\sqrt{16 - x^{2}}} + \frac{20 \sqrt{16 - x^{2}}}{x^{2}}}{x^{4}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2112−1296x_{1} = - 2 \sqrt{\frac{11}{2} - \frac{\sqrt{129}}{6}}
x2=2112−1296x_{2} = 2 \sqrt{\frac{11}{2} - \frac{\sqrt{129}}{6}}
x3=−21296+112x_{3} = - 2 \sqrt{\frac{\sqrt{129}}{6} + \frac{11}{2}}
x4=21296+112x_{4} = 2 \sqrt{\frac{\sqrt{129}}{6} + \frac{11}{2}}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(x2x2−16−116−x2+816−x2+2016−x2x2x4)=∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\frac{\frac{x^{2}}{x^{2} - 16} - 1}{\sqrt{16 - x^{2}}} + \frac{8}{\sqrt{16 - x^{2}}} + \frac{20 \sqrt{16 - x^{2}}}{x^{2}}}{x^{4}}\right) = \infty
lim⁡x→0+(x2x2−16−116−x2+816−x2+2016−x2x2x4)=∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{\frac{x^{2}}{x^{2} - 16} - 1}{\sqrt{16 - x^{2}}} + \frac{8}{\sqrt{16 - x^{2}}} + \frac{20 \sqrt{16 - x^{2}}}{x^{2}}}{x^{4}}\right) = \infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−2112−1296,2112−1296]\left[- 2 \sqrt{\frac{11}{2} - \frac{\sqrt{129}}{6}}, 2 \sqrt{\frac{11}{2} - \frac{\sqrt{129}}{6}}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−2112−1296]∪[2112−1296,∞)\left(-\infty, - 2 \sqrt{\frac{11}{2} - \frac{\sqrt{129}}{6}}\right] \cup \left[2 \sqrt{\frac{11}{2} - \frac{\sqrt{129}}{6}}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(16−x2x4)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{16 - x^{2}}}{x^{4}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(16−x2x4)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{16 - x^{2}}}{x^{4}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(16 - x^2)/x^4, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(16−x2xx4)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{16 - x^{2}}}{x x^{4}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(16−x2xx4)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{16 - x^{2}}}{x x^{4}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
16−x2x4=16−x2x4\frac{\sqrt{16 - x^{2}}}{x^{4}} = \frac{\sqrt{16 - x^{2}}}{x^{4}}
- Sí
16−x2x4=−16−x2x4\frac{\sqrt{16 - x^{2}}}{x^{4}} = - \frac{\sqrt{16 - x^{2}}}{x^{4}}
- No
es decir, función
es
par
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