Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x+5)^2-9
-
x^(7/2)-3
-
-x^4+5x^2-4
-
x^3/
-
Expresiones idénticas
- sin(uno /x)/(lnxln^ dos (lnx))
- seno de (1 dividir por x) dividir por (lnxln al cuadrado (lnx))
- seno de (uno dividir por x) dividir por (lnxln en el grado dos (lnx))
- sin(1/x)/(lnxln2(lnx))
- sin1/x/lnxln2lnx
- sin(1/x)/(lnxln²(lnx))
- sin(1/x)/(lnxln en el grado 2(lnx))
- sin1/x/lnxln^2lnx
- sin(1 dividir por x) dividir por (lnxln^2(lnx))
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(x)+x^2-1
- sin(x/2+pi/2)+4
- sin^2√x-3+cos^2√x-3
- sin(x^2-x)
- sin*3,14x/4
Gráfico de la función y = sin(1/x)/(lnxln^2(lnx))
Solución
Ha introducido
[src]
/1\
sin|-|
\x/
f(x) = -------------------
2
log(x)*log (log(x))
$$f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2}}$$
f = sin(1/x)/((log(x)*log(log(x))^2))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2.71828182845905$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2.71828182845905$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{1}{\pi}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.318309886183791$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{1}{\pi}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.318309886183791$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(- \frac{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2}}{x} - \frac{2 \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(x \right)}^{2} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{4}} - \frac{\frac{1}{\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2}} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 123936.081390546$$
$$x_{2} = 1.18486335120708$$
$$x_{3} = 150684.75506836$$
$$x_{4} = 115153.501298535$$
$$x_{5} = 155195.855429689$$
$$x_{6} = 164259.479644699$$
$$x_{7} = 173375.795091768$$
$$x_{8} = 146188.012534746$$
$$x_{9} = 187143.038744899$$
$$x_{10} = 128353.856807181$$
$$x_{11} = 182542.014130585$$
$$x_{12} = 141706.069594359$$
$$x_{13} = 177952.830257034$$
$$x_{14} = 191755.610273719$$
$$x_{15} = 159720.895631442$$
$$x_{16} = 168811.231757655$$
$$x_{17} = 119535.750763085$$
$$x_{18} = 137239.393814113$$
$$x_{19} = 196379.448105231$$
$$x_{20} = 132788.480817713$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 1.18486335120708$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[1.18486335120708, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1.18486335120708\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(- \frac{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2}}{x} - \frac{2 \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(x \right)}^{2} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{4}} - \frac{\frac{1}{\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2}} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 123936.081390546$$
$$x_{2} = 1.18486335120708$$
$$x_{3} = 150684.75506836$$
$$x_{4} = 115153.501298535$$
$$x_{5} = 155195.855429689$$
$$x_{6} = 164259.479644699$$
$$x_{7} = 173375.795091768$$
$$x_{8} = 146188.012534746$$
$$x_{9} = 187143.038744899$$
$$x_{10} = 128353.856807181$$
$$x_{11} = 182542.014130585$$
$$x_{12} = 141706.069594359$$
$$x_{13} = 177952.830257034$$
$$x_{14} = 191755.610273719$$
$$x_{15} = 159720.895631442$$
$$x_{16} = 168811.231757655$$
$$x_{17} = 119535.750763085$$
$$x_{18} = 137239.393814113$$
$$x_{19} = 196379.448105231$$
$$x_{20} = 132788.480817713$$
Signos de extremos en los puntos:
(123936.08139054646, 1.13511973473116e-7)
(1.1848633512070803, 1.39963198816373)
(150684.75506836042, 9.0611152595887e-8)
(115153.50129853451, 1.23570171838804e-7)
(155195.85542968876, 8.75854918714103e-8)
(164259.4796446994, 8.20478696165653e-8)
(173375.79509176788, 7.71069615054369e-8)
(146188.01253474577, 9.38288221231438e-8)
(187143.03874489915, 7.06262941164073e-8)
(128353.85680718144, 1.09014413525719e-7)
(182542.01413058455, 7.26746883621352e-8)
(141706.06959435856, 9.72564495504268e-8)
(177952.83025703442, 7.48320720862356e-8)
(191755.6102737185, 6.86791587895291e-8)
(159720.8956314423, 8.47358352230513e-8)
(168811.23175765487, 7.95087590585813e-8)
(119535.75076308475, 1.18351105121923e-7)
(137239.39381411337, 1.009142270632e-7)
(196379.44810523078, 6.68262501732177e-8)
(132788.48081771337, 1.04824944677654e-7)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 1.18486335120708$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[1.18486335120708, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1.18486335120708\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{\left(\frac{\left(1 + \frac{2}{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}\right) \left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2\right)}{\log{\left(x \right)}} + \frac{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2}{\log{\left(x \right)}} + \frac{2 \left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2\right)}{\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} + \frac{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2} + 2 \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \frac{2 \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{\log{\left(x \right)}} - \frac{2}{\log{\left(x \right)}}}{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}\right) \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} + \frac{2 \left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2\right) \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x \log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} + \frac{2 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}}{x}}{x^{2} \log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 4734.21640764846$$
$$x_{2} = 8525.74928207858$$
$$x_{3} = 22272.0085483679$$
$$x_{4} = 11982.735077658$$
$$x_{5} = 14506.7974696496$$
$$x_{6} = 17066.6666097022$$
$$x_{7} = 17582.3926928376$$
$$x_{8} = 12484.3311405173$$
$$x_{9} = 6130.39430398357$$
$$x_{10} = 18617.2767763802$$
$$x_{11} = 16552.134633935$$
$$x_{12} = 16038.83725317$$
$$x_{13} = 20177.6717745926$$
$$x_{14} = 13492.4801077979$$
$$x_{15} = 19136.3647917006$$
$$x_{16} = 20699.8313456432$$
$$x_{17} = 12987.6027704594$$
$$x_{18} = 4277.55217499511$$
$$x_{19} = 10488.7888169327$$
$$x_{20} = 19656.5066180118$$
$$x_{21} = 8040.93988735038$$
$$x_{22} = 10984.8783301856$$
$$x_{23} = 9502.77552018325$$
$$x_{24} = 6603.3184748473$$
$$x_{25} = 21222.9578666788$$
$$x_{26} = 23324.6294399768$$
$$x_{27} = 15526.8175173399$$
$$x_{28} = 21747.0252214732$$
$$x_{29} = 13998.8983980117$$
$$x_{30} = 9994.71898554314$$
$$x_{31} = 7079.53315738084$$
$$x_{32} = 7558.80791323059$$
$$x_{33} = 18099.2747432156$$
$$x_{34} = 5661.0244280765$$
$$x_{35} = 22797.884154918$$
$$x_{36} = 5195.51341811941$$
$$x_{37} = 11482.8901493896$$
$$x_{38} = 9013.07575527668$$
$$x_{39} = 15016.1212799033$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2.71828182845905$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\frac{\left(\frac{\left(1 + \frac{2}{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}\right) \left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2\right)}{\log{\left(x \right)}} + \frac{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2}{\log{\left(x \right)}} + \frac{2 \left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2\right)}{\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} + \frac{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2} + 2 \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \frac{2 \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{\log{\left(x \right)}} - \frac{2}{\log{\left(x \right)}}}{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}\right) \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} + \frac{2 \left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2\right) \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x \log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} + \frac{2 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}}{x}}{x^{2} \log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{\left(\frac{\left(1 + \frac{2}{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}\right) \left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2\right)}{\log{\left(x \right)}} + \frac{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2}{\log{\left(x \right)}} + \frac{2 \left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2\right)}{\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} + \frac{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2} + 2 \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \frac{2 \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{\log{\left(x \right)}} - \frac{2}{\log{\left(x \right)}}}{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}\right) \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} + \frac{2 \left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2\right) \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x \log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} + \frac{2 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}}{x}}{x^{2} \log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2.71828182845905^-}\left(\frac{\frac{\left(\frac{\left(1 + \frac{2}{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}\right) \left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2\right)}{\log{\left(x \right)}} + \frac{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2}{\log{\left(x \right)}} + \frac{2 \left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2\right)}{\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} + \frac{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2} + 2 \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \frac{2 \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{\log{\left(x \right)}} - \frac{2}{\log{\left(x \right)}}}{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}\right) \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} + \frac{2 \left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2\right) \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x \log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} + \frac{2 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}}{x}}{x^{2} \log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 2.71828182845905^+}\left(\frac{\frac{\left(\frac{\left(1 + \frac{2}{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}\right) \left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2\right)}{\log{\left(x \right)}} + \frac{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2}{\log{\left(x \right)}} + \frac{2 \left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2\right)}{\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} + \frac{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2} + 2 \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \frac{2 \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{\log{\left(x \right)}} - \frac{2}{\log{\left(x \right)}}}{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}\right) \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} + \frac{2 \left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2\right) \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x \log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} + \frac{2 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}}{x}}{x^{2} \log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{\left(\frac{\left(1 + \frac{2}{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}\right) \left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2\right)}{\log{\left(x \right)}} + \frac{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2}{\log{\left(x \right)}} + \frac{2 \left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2\right)}{\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} + \frac{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2} + 2 \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \frac{2 \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{\log{\left(x \right)}} - \frac{2}{\log{\left(x \right)}}}{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}\right) \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} + \frac{2 \left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2\right) \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x \log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} + \frac{2 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}}{x}}{x^{2} \log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 4734.21640764846$$
$$x_{2} = 8525.74928207858$$
$$x_{3} = 22272.0085483679$$
$$x_{4} = 11982.735077658$$
$$x_{5} = 14506.7974696496$$
$$x_{6} = 17066.6666097022$$
$$x_{7} = 17582.3926928376$$
$$x_{8} = 12484.3311405173$$
$$x_{9} = 6130.39430398357$$
$$x_{10} = 18617.2767763802$$
$$x_{11} = 16552.134633935$$
$$x_{12} = 16038.83725317$$
$$x_{13} = 20177.6717745926$$
$$x_{14} = 13492.4801077979$$
$$x_{15} = 19136.3647917006$$
$$x_{16} = 20699.8313456432$$
$$x_{17} = 12987.6027704594$$
$$x_{18} = 4277.55217499511$$
$$x_{19} = 10488.7888169327$$
$$x_{20} = 19656.5066180118$$
$$x_{21} = 8040.93988735038$$
$$x_{22} = 10984.8783301856$$
$$x_{23} = 9502.77552018325$$
$$x_{24} = 6603.3184748473$$
$$x_{25} = 21222.9578666788$$
$$x_{26} = 23324.6294399768$$
$$x_{27} = 15526.8175173399$$
$$x_{28} = 21747.0252214732$$
$$x_{29} = 13998.8983980117$$
$$x_{30} = 9994.71898554314$$
$$x_{31} = 7079.53315738084$$
$$x_{32} = 7558.80791323059$$
$$x_{33} = 18099.2747432156$$
$$x_{34} = 5661.0244280765$$
$$x_{35} = 22797.884154918$$
$$x_{36} = 5195.51341811941$$
$$x_{37} = 11482.8901493896$$
$$x_{38} = 9013.07575527668$$
$$x_{39} = 15016.1212799033$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2.71828182845905$$
True
True
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\frac{\left(\frac{\left(1 + \frac{2}{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}\right) \left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2\right)}{\log{\left(x \right)}} + \frac{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2}{\log{\left(x \right)}} + \frac{2 \left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2\right)}{\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} + \frac{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2} + 2 \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \frac{2 \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{\log{\left(x \right)}} - \frac{2}{\log{\left(x \right)}}}{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}\right) \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} + \frac{2 \left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2\right) \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x \log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} + \frac{2 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}}{x}}{x^{2} \log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{\left(\frac{\left(1 + \frac{2}{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}\right) \left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2\right)}{\log{\left(x \right)}} + \frac{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2}{\log{\left(x \right)}} + \frac{2 \left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2\right)}{\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} + \frac{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2} + 2 \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \frac{2 \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{\log{\left(x \right)}} - \frac{2}{\log{\left(x \right)}}}{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}\right) \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} + \frac{2 \left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2\right) \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x \log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} + \frac{2 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}}{x}}{x^{2} \log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2.71828182845905^-}\left(\frac{\frac{\left(\frac{\left(1 + \frac{2}{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}\right) \left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2\right)}{\log{\left(x \right)}} + \frac{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2}{\log{\left(x \right)}} + \frac{2 \left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2\right)}{\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} + \frac{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2} + 2 \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \frac{2 \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{\log{\left(x \right)}} - \frac{2}{\log{\left(x \right)}}}{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}\right) \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} + \frac{2 \left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2\right) \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x \log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} + \frac{2 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}}{x}}{x^{2} \log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 2.71828182845905^+}\left(\frac{\frac{\left(\frac{\left(1 + \frac{2}{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}\right) \left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2\right)}{\log{\left(x \right)}} + \frac{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2}{\log{\left(x \right)}} + \frac{2 \left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2\right)}{\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} + \frac{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2} + 2 \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \frac{2 \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{\log{\left(x \right)}} - \frac{2}{\log{\left(x \right)}}}{\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}\right) \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} + \frac{2 \left(\log{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2\right) \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x \log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}} + \frac{2 \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}}{x}}{x^{2} \log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2.71828182845905$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2.71828182845905$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(1/x)/((log(x)*log(log(x))^2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2}} \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2}} \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2}} \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2}} \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2}} = - \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(- x \right)} \log{\left(\log{\left(- x \right)} \right)}^{2}}$$
- No
$$\frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2}} = \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(- x \right)} \log{\left(\log{\left(- x \right)} \right)}^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2}} = - \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(- x \right)} \log{\left(\log{\left(- x \right)} \right)}^{2}}$$
- No
$$\frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(x \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} \right)}^{2}} = \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\log{\left(- x \right)} \log{\left(\log{\left(- x \right)} \right)}^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar