Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x*(x-1)^2)^(1/3)
-
(x-4)∛x
-
x^5-5x-4
-
(x-5)/e^(2*x)
-
Expresiones idénticas
- x^ cuatro + dos x^ tres -1 dos x^2-5x+2
- x en el grado 4 más 2x al cubo menos 12x al cuadrado menos 5x más 2
- x en el grado cuatro más dos x en el grado tres menos 1 dos x al cuadrado menos 5x más 2
- x4+2x3-12x2-5x+2
- x⁴+2x³-12x²-5x+2
- x en el grado 4+2x en el grado 3-12x en el grado 2-5x+2
-
Expresiones semejantes
- x^4+2x^3-12x^2-5x-2
- x^4+2x^3-12x^2+5x+2
- x^4+2x^3+12x^2-5x+2
- x^4-2x^3-12x^2-5x+2
Gráfico de la función y = x^4+2x^3-12x^2-5x+2
Solución
Ha introducido
[src]
4 3 2 f(x) = x + 2*x - 12*x - 5*x + 2
$$f{\left(x \right)} = \left(- 5 x + \left(- 12 x^{2} + \left(x^{4} + 2 x^{3}\right)\right)\right) + 2$$
f = -5*x - 12*x^2 + x^4 + 2*x^3 + 2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(- 5 x + \left(- 12 x^{2} + \left(x^{4} + 2 x^{3}\right)\right)\right) + 2 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{9 + \frac{11}{\sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}}}}{2} - \frac{\sqrt{18 - 2 \sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}} + \frac{16}{\sqrt{9 + \frac{11}{\sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}}}} - \frac{11}{\sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}}}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{9 + \frac{11}{\sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}}}}{2} + \frac{\sqrt{18 - 2 \sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}} + \frac{16}{\sqrt{9 + \frac{11}{\sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}}}} - \frac{11}{\sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}}}}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{18 - 2 \sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}} - \frac{16}{\sqrt{9 + \frac{11}{\sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}}}} - \frac{11}{\sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}}}}}{2} + \frac{\sqrt{9 + \frac{11}{\sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}}}}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{18 - 2 \sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}} - \frac{16}{\sqrt{9 + \frac{11}{\sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}}}} - \frac{11}{\sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}}}}}{2} + \frac{\sqrt{9 + \frac{11}{\sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}}}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.25331786051441$$
$$x_{2} = 2.81123480364346$$
$$x_{3} = -4.43068910283163$$
$$x_{4} = -0.633863561326238$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(- 5 x + \left(- 12 x^{2} + \left(x^{4} + 2 x^{3}\right)\right)\right) + 2 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{9 + \frac{11}{\sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}}}}{2} - \frac{\sqrt{18 - 2 \sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}} + \frac{16}{\sqrt{9 + \frac{11}{\sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}}}} - \frac{11}{\sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}}}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{9 + \frac{11}{\sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}}}}{2} + \frac{\sqrt{18 - 2 \sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}} + \frac{16}{\sqrt{9 + \frac{11}{\sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}}}} - \frac{11}{\sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}}}}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{18 - 2 \sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}} - \frac{16}{\sqrt{9 + \frac{11}{\sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}}}} - \frac{11}{\sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}}}}}{2} + \frac{\sqrt{9 + \frac{11}{\sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}}}}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{18 - 2 \sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}} - \frac{16}{\sqrt{9 + \frac{11}{\sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}}}} - \frac{11}{\sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}}}}}{2} + \frac{\sqrt{9 + \frac{11}{\sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{71}{16} + \frac{\sqrt{37551} i}{16}}}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.25331786051441$$
$$x_{2} = 2.81123480364346$$
$$x_{3} = -4.43068910283163$$
$$x_{4} = -0.633863561326238$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$4 x^{3} + 6 x^{2} - 24 x - 5 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt[3]{27 + \frac{27 \sqrt{665} i}{8}}}{3} - \frac{27}{4 \sqrt[3]{27 + \frac{27 \sqrt{665} i}{8}}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - 3 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{665}}{8} \right)}}{3} \right)} - \frac{1}{2}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- 3 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{665}}{8} \right)}}{3} \right)} - \frac{1}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 3 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{665}}{8} \right)}}{3} \right)} - \frac{1}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$4 x^{3} + 6 x^{2} - 24 x - 5 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt[3]{27 + \frac{27 \sqrt{665} i}{8}}}{3} - \frac{27}{4 \sqrt[3]{27 + \frac{27 \sqrt{665} i}{8}}}$$
Signos de extremos en los puntos:
4 2 3
___________________ / ___________________\ / ___________________\ / ___________________\ ___________________
/ _____ | / _____ | | / _____ | | / _____ | / _____
/ 27*I*\/ 665 | / 27*I*\/ 665 | | / 27*I*\/ 665 | | / 27*I*\/ 665 | / 27*I*\/ 665
3 / 27 + ------------ | 3 / 27 + ------------ | | 3 / 27 + ------------ | | 3 / 27 + ------------ | 5*3 / 27 + ------------
1 27 \/ 8 9 | 1 27 \/ 8 | | 1 27 \/ 8 | | 1 27 \/ 8 | \/ 8 135
(- - - -------------------------- - ------------------------, - + |- - - -------------------------- - ------------------------| - 12*|- - - -------------------------- - ------------------------| + 2*|- - - -------------------------- - ------------------------| + -------------------------- + --------------------------)
2 ___________________ 3 2 | 2 ___________________ 3 | | 2 ___________________ 3 | | 2 ___________________ 3 | 3 ___________________
/ _____ | / _____ | | / _____ | | / _____ | / _____
/ 27*I*\/ 665 | / 27*I*\/ 665 | | / 27*I*\/ 665 | | / 27*I*\/ 665 | / 27*I*\/ 665
4*3 / 27 + ------------ | 4*3 / 27 + ------------ | | 4*3 / 27 + ------------ | | 4*3 / 27 + ------------ | 4*3 / 27 + ------------
\/ 8 \ \/ 8 / \ \/ 8 / \ \/ 8 / \/ 8 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - 3 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{665}}{8} \right)}}{3} \right)} - \frac{1}{2}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- 3 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{665}}{8} \right)}}{3} \right)} - \frac{1}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 3 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{665}}{8} \right)}}{3} \right)} - \frac{1}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$12 \left(x^{2} + x - 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-2, 1\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$12 \left(x^{2} + x - 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-2, 1\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 5 x + \left(- 12 x^{2} + \left(x^{4} + 2 x^{3}\right)\right)\right) + 2\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 5 x + \left(- 12 x^{2} + \left(x^{4} + 2 x^{3}\right)\right)\right) + 2\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 5 x + \left(- 12 x^{2} + \left(x^{4} + 2 x^{3}\right)\right)\right) + 2\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 5 x + \left(- 12 x^{2} + \left(x^{4} + 2 x^{3}\right)\right)\right) + 2\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^4 + 2*x^3 - 12*x^2 - 5*x + 2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 5 x + \left(- 12 x^{2} + \left(x^{4} + 2 x^{3}\right)\right)\right) + 2}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 5 x + \left(- 12 x^{2} + \left(x^{4} + 2 x^{3}\right)\right)\right) + 2}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 5 x + \left(- 12 x^{2} + \left(x^{4} + 2 x^{3}\right)\right)\right) + 2}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 5 x + \left(- 12 x^{2} + \left(x^{4} + 2 x^{3}\right)\right)\right) + 2}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(- 5 x + \left(- 12 x^{2} + \left(x^{4} + 2 x^{3}\right)\right)\right) + 2 = x^{4} - 2 x^{3} - 12 x^{2} + 5 x + 2$$
- No
$$\left(- 5 x + \left(- 12 x^{2} + \left(x^{4} + 2 x^{3}\right)\right)\right) + 2 = - x^{4} + 2 x^{3} + 12 x^{2} - 5 x - 2$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(- 5 x + \left(- 12 x^{2} + \left(x^{4} + 2 x^{3}\right)\right)\right) + 2 = x^{4} - 2 x^{3} - 12 x^{2} + 5 x + 2$$
- No
$$\left(- 5 x + \left(- 12 x^{2} + \left(x^{4} + 2 x^{3}\right)\right)\right) + 2 = - x^{4} + 2 x^{3} + 12 x^{2} - 5 x - 2$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico