Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3-3*x^2-24*x-28
-
x^3+3x^2-6
-
x^3-147*x+11
-
x^3-3x^2-9x+9
-
Expresiones idénticas
- cos(dos *φ)
- coseno de (2 multiplicar por φ)
- coseno de (dos multiplicar por φ)
- cos(2φ)
- cos2φ
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x)/18
- cos(1)*x/3
- cos(3x)*ctg(4x)
- cos(x)+(-1)^x*10
- cos(3*x)-tan(2*x)
Gráfico de la función y = cos(2*φ)
Solución
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje P con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\cos{\left(2 p \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje P:
Solución analítica
$$p_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$p_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Solución numérica
$$p_{1} = 2.35619449019234$$
$$p_{2} = -11.7809724509617$$
$$p_{3} = -38.484510006475$$
$$p_{4} = 11.7809724509617$$
$$p_{5} = 46.3384916404494$$
$$p_{6} = 40.0553063332699$$
$$p_{7} = -68.329640215578$$
$$p_{8} = -32.2013246992954$$
$$p_{9} = -25.9181393921158$$
$$p_{10} = 33.7721210260903$$
$$p_{11} = 96.6039740978861$$
$$p_{12} = 55.7632696012188$$
$$p_{13} = 384.059701901352$$
$$p_{14} = 5.49778714378214$$
$$p_{15} = -18.0641577581413$$
$$p_{16} = -69.9004365423729$$
$$p_{17} = 18.0641577581413$$
$$p_{18} = -85.6083998103219$$
$$p_{19} = 47.9092879672443$$
$$p_{20} = 76.1836218495525$$
$$p_{21} = 44.7676953136546$$
$$p_{22} = -62.0464549083984$$
$$p_{23} = 32.2013246992954$$
$$p_{24} = 62.0464549083984$$
$$p_{25} = -33.7721210260903$$
$$p_{26} = 88.7499924639117$$
$$p_{27} = 52.621676947629$$
$$p_{28} = -63.6172512351933$$
$$p_{29} = -16.4933614313464$$
$$p_{30} = -10.2101761241668$$
$$p_{31} = -24.3473430653209$$
$$p_{32} = -47.9092879672443$$
$$p_{33} = -12461.9126586273$$
$$p_{34} = 85.6083998103219$$
$$p_{35} = 10.2101761241668$$
$$p_{36} = 41.6261026600648$$
$$p_{37} = 99.7455667514759$$
$$p_{38} = -5.49778714378214$$
$$p_{39} = 24.3473430653209$$
$$p_{40} = -82.4668071567321$$
$$p_{41} = -76.1836218495525$$
$$p_{42} = 22.776546738526$$
$$p_{43} = -60.4756585816035$$
$$p_{44} = -93.4623814442964$$
$$p_{45} = -57.3340659280137$$
$$p_{46} = 82.4668071567321$$
$$p_{47} = 98.174770424681$$
$$p_{48} = 8.63937979737193$$
$$p_{49} = -54.1924732744239$$
$$p_{50} = -35.3429173528852$$
$$p_{51} = -98.174770424681$$
$$p_{52} = 38.484510006475$$
$$p_{53} = 162.577419823272$$
$$p_{54} = -49.4800842940392$$
$$p_{55} = 49.4800842940392$$
$$p_{56} = -27.4889357189107$$
$$p_{57} = 27.4889357189107$$
$$p_{58} = 1973.70558461779$$
$$p_{59} = -84.037603483527$$
$$p_{60} = 19.6349540849362$$
$$p_{61} = -41.6261026600648$$
$$p_{62} = -91.8915851175014$$
$$p_{63} = 77.7544181763474$$
$$p_{64} = 60.4756585816035$$
$$p_{65} = 25.9181393921158$$
$$p_{66} = -90.3207887907066$$
$$p_{67} = -55.7632696012188$$
$$p_{68} = -19.6349540849362$$
$$p_{69} = -13.3517687777566$$
$$p_{70} = 66.7588438887831$$
$$p_{71} = 91.8915851175014$$
$$p_{72} = -3.92699081698724$$
$$p_{73} = -77.7544181763474$$
$$p_{74} = 63.6172512351933$$
$$p_{75} = -79.3252145031423$$
$$p_{76} = 90.3207887907066$$
$$p_{77} = -40.0553063332699$$
$$p_{78} = 30.6305283725005$$
$$p_{79} = 3.92699081698724$$
$$p_{80} = 69.9004365423729$$
$$p_{81} = 54.1924732744239$$
$$p_{82} = 87.1791961371168$$
$$p_{83} = -46.3384916404494$$
$$p_{84} = 84.037603483527$$
$$p_{85} = 68.329640215578$$
$$p_{86} = 74.6128255227576$$
$$p_{87} = -71.4712328691678$$
$$p_{88} = -2.35619449019234$$
$$p_{89} = -99.7455667514759$$
$$p_{90} = 16.4933614313464$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\cos{\left(2 p \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje P:
Solución analítica
$$p_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$p_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Solución numérica
$$p_{1} = 2.35619449019234$$
$$p_{2} = -11.7809724509617$$
$$p_{3} = -38.484510006475$$
$$p_{4} = 11.7809724509617$$
$$p_{5} = 46.3384916404494$$
$$p_{6} = 40.0553063332699$$
$$p_{7} = -68.329640215578$$
$$p_{8} = -32.2013246992954$$
$$p_{9} = -25.9181393921158$$
$$p_{10} = 33.7721210260903$$
$$p_{11} = 96.6039740978861$$
$$p_{12} = 55.7632696012188$$
$$p_{13} = 384.059701901352$$
$$p_{14} = 5.49778714378214$$
$$p_{15} = -18.0641577581413$$
$$p_{16} = -69.9004365423729$$
$$p_{17} = 18.0641577581413$$
$$p_{18} = -85.6083998103219$$
$$p_{19} = 47.9092879672443$$
$$p_{20} = 76.1836218495525$$
$$p_{21} = 44.7676953136546$$
$$p_{22} = -62.0464549083984$$
$$p_{23} = 32.2013246992954$$
$$p_{24} = 62.0464549083984$$
$$p_{25} = -33.7721210260903$$
$$p_{26} = 88.7499924639117$$
$$p_{27} = 52.621676947629$$
$$p_{28} = -63.6172512351933$$
$$p_{29} = -16.4933614313464$$
$$p_{30} = -10.2101761241668$$
$$p_{31} = -24.3473430653209$$
$$p_{32} = -47.9092879672443$$
$$p_{33} = -12461.9126586273$$
$$p_{34} = 85.6083998103219$$
$$p_{35} = 10.2101761241668$$
$$p_{36} = 41.6261026600648$$
$$p_{37} = 99.7455667514759$$
$$p_{38} = -5.49778714378214$$
$$p_{39} = 24.3473430653209$$
$$p_{40} = -82.4668071567321$$
$$p_{41} = -76.1836218495525$$
$$p_{42} = 22.776546738526$$
$$p_{43} = -60.4756585816035$$
$$p_{44} = -93.4623814442964$$
$$p_{45} = -57.3340659280137$$
$$p_{46} = 82.4668071567321$$
$$p_{47} = 98.174770424681$$
$$p_{48} = 8.63937979737193$$
$$p_{49} = -54.1924732744239$$
$$p_{50} = -35.3429173528852$$
$$p_{51} = -98.174770424681$$
$$p_{52} = 38.484510006475$$
$$p_{53} = 162.577419823272$$
$$p_{54} = -49.4800842940392$$
$$p_{55} = 49.4800842940392$$
$$p_{56} = -27.4889357189107$$
$$p_{57} = 27.4889357189107$$
$$p_{58} = 1973.70558461779$$
$$p_{59} = -84.037603483527$$
$$p_{60} = 19.6349540849362$$
$$p_{61} = -41.6261026600648$$
$$p_{62} = -91.8915851175014$$
$$p_{63} = 77.7544181763474$$
$$p_{64} = 60.4756585816035$$
$$p_{65} = 25.9181393921158$$
$$p_{66} = -90.3207887907066$$
$$p_{67} = -55.7632696012188$$
$$p_{68} = -19.6349540849362$$
$$p_{69} = -13.3517687777566$$
$$p_{70} = 66.7588438887831$$
$$p_{71} = 91.8915851175014$$
$$p_{72} = -3.92699081698724$$
$$p_{73} = -77.7544181763474$$
$$p_{74} = 63.6172512351933$$
$$p_{75} = -79.3252145031423$$
$$p_{76} = 90.3207887907066$$
$$p_{77} = -40.0553063332699$$
$$p_{78} = 30.6305283725005$$
$$p_{79} = 3.92699081698724$$
$$p_{80} = 69.9004365423729$$
$$p_{81} = 54.1924732744239$$
$$p_{82} = 87.1791961371168$$
$$p_{83} = -46.3384916404494$$
$$p_{84} = 84.037603483527$$
$$p_{85} = 68.329640215578$$
$$p_{86} = 74.6128255227576$$
$$p_{87} = -71.4712328691678$$
$$p_{88} = -2.35619449019234$$
$$p_{89} = -99.7455667514759$$
$$p_{90} = 16.4933614313464$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d p} f{\left(p \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d p} f{\left(p \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 \sin{\left(2 p \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$p_{1} = 0$$
$$p_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$p_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$p_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d p} f{\left(p \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d p} f{\left(p \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 \sin{\left(2 p \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$p_{1} = 0$$
$$p_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)
pi (--, -1) 2
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$p_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$p_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d p^{2}} f{\left(p \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d p^{2}} f{\left(p \right)} = $$
segunda derivada
$$- 4 \cos{\left(2 p \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$p_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$p_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d p^{2}} f{\left(p \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d p^{2}} f{\left(p \right)} = $$
segunda derivada
$$- 4 \cos{\left(2 p \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$p_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$p_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con p->+oo y p->-oo
$$\lim_{p \to -\infty} \cos{\left(2 p \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{p \to \infty} \cos{\left(2 p \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{p \to -\infty} \cos{\left(2 p \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{p \to \infty} \cos{\left(2 p \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(2*p), dividida por p con p->+oo y p ->-oo
$$\lim_{p \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(2 p \right)}}{p}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{p \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(2 p \right)}}{p}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{p \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(2 p \right)}}{p}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{p \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(2 p \right)}}{p}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-p) и f = -f(-p).
Pues, comprobamos:
$$\cos{\left(2 p \right)} = \cos{\left(2 p \right)}$$
- Sí
$$\cos{\left(2 p \right)} = - \cos{\left(2 p \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\cos{\left(2 p \right)} = \cos{\left(2 p \right)}$$
- Sí
$$\cos{\left(2 p \right)} = - \cos{\left(2 p \right)}$$
- No
es decir, función
es
par