Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt2x-2cosx

Gráfico de la función y = sqrt2x-2cosx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         _____           
f(x) = \/ 2*x  - 2*cos(x)
f(x)=2x−2cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \sqrt{2 x} - 2 \cos{\left(x \right)} 
f = sqrt(2*x) - 2*cos(x)
Gráfico de la función
0.000.250.500.751.001.251.501.752.002.252.502.753.005-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2x−2cos⁡(x)=0\sqrt{2 x} - 2 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0.857095747068992x_{1} = 0.857095747068992
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(2*x) - 2*cos(x).
−2cos⁡(0)+0⋅2- 2 \cos{\left(0 \right)} + \sqrt{0 \cdot 2}
Resultado:
f(0)=−2f{\left(0 \right)} = -2
Punto:
(0, -2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2sin⁡(x)+2x2x=02 \sin{\left(x \right)} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{x}}{2 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=12.4660664960616x_{1} = 12.4660664960616
x2=84.8613906302444x_{2} = 84.8613906302444
x3=25.0620593136738x_{3} = 25.0620593136738
x4=78.5797110212012x_{4} = 78.5797110212012
x5=6.14001432005001x_{5} = 6.14001432005001
x6=97.4251994117561x_{6} = 97.4251994117561
x7=81.6422701167997x_{7} = 81.6422701167997
x8=56.5016150332186x_{8} = 56.5016150332186
x9=69.0724850498015x_{9} = 69.0724850498015
x10=31.3527426632222x_{10} = 31.3527426632222
x11=47.1753876712831x_{11} = 47.1753876712831
x12=75.357484537593x_{12} = 75.357484537593
x13=100.495689562389x_{13} = 100.495689562389
x14=53.455450939062x_{14} = 53.455450939062
x15=147.683951814101x_{15} = 147.683951814101
x16=72.2982236659435x_{16} = 72.2982236659435
x17=34.6176459701182x_{17} = 34.6176459701182
x18=37.6414534578481x_{18} = 37.6414534578481
x19=3.33638279476936x_{19} = 3.33638279476936
x20=9.53949957697623x_{20} = 9.53949957697623
x21=59.7360206738079x_{21} = 59.7360206738079
x22=66.0169732880922x_{22} = 66.0169732880922
x23=28.3407951710726x_{23} = 28.3407951710726
x24=945.630886239327x_{24} = 945.630886239327
x25=40.8960186130528x_{25} = 40.8960186130528
x26=87.9268807753933x_{26} = 87.9268807753933
x27=94.2113462258309x_{27} = 94.2113462258309
x28=62.7872192998985x_{28} = 62.7872192998985
x29=22.0664840127627x_{29} = 22.0664840127627
x30=91.1432287574617x_{30} = 91.1432287574617
x31=43.9289285415686x_{31} = 43.9289285415686
x32=50.2155691721985x_{32} = 50.2155691721985
x33=15.7970353560729x_{33} = 15.7970353560729
x34=18.7678542451706x_{34} = 18.7678542451706
Signos de extremos en los puntos:
(12.466066496061623, 3.00326117082544)

(84.86139063024437, 15.0262960865029)

(25.06205931367379, 5.08483273779398)

(78.5797110212012, 14.5347327295503)

(6.140014320050014, 1.52475012173083)

(97.42519941175608, 15.9575989872012)

(81.64227011679972, 10.779815587602)

(56.501615033218634, 8.6325112922882)

(69.07248504980153, 9.75531935462167)

(31.352742663222234, 5.92267039291801)

(47.17538767128312, 11.7107812827346)

(75.35748453759302, 10.2782619540773)

(100.4956895623887, 12.1783870621348)

(53.455450939061954, 12.3374330512077)

(147.68395181410102, 19.1854242076374)

(72.29822366594347, 14.0230965933589)

(34.617645970118225, 10.3171605792316)

(37.64145345784813, 6.67989587069277)

(3.3363827947693583, 4.54534630193841)

(9.53949957697623, 6.35480474696333)

(59.73602067380795, 12.9282330451214)

(66.01697328809216, 13.4887081836159)

(28.340795171072592, 9.52430223177848)

(945.630886239327, 45.4885073882821)

(40.896018613052775, 11.0408361537307)

(87.92688077539327, 11.2624085885278)

(94.21134622583087, 11.7280417986598)

(62.7872192998985, 9.20799195888633)

(22.066484012762732, 8.6375921174486)

(91.14322875746173, 15.4999782724934)

(43.928928541568624, 7.37609974728043)

(50.215569172198514, 8.02402455099547)

(15.797035356072874, 7.61293172500437)

(18.76785424517056, 4.13331070083742)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=12.4660664960616x_{1} = 12.4660664960616
x2=25.0620593136738x_{2} = 25.0620593136738
x3=6.14001432005001x_{3} = 6.14001432005001
x4=81.6422701167997x_{4} = 81.6422701167997
x5=56.5016150332186x_{5} = 56.5016150332186
x6=69.0724850498015x_{6} = 69.0724850498015
x7=31.3527426632222x_{7} = 31.3527426632222
x8=75.357484537593x_{8} = 75.357484537593
x9=100.495689562389x_{9} = 100.495689562389
x10=37.6414534578481x_{10} = 37.6414534578481
x11=87.9268807753933x_{11} = 87.9268807753933
x12=94.2113462258309x_{12} = 94.2113462258309
x13=62.7872192998985x_{13} = 62.7872192998985
x14=43.9289285415686x_{14} = 43.9289285415686
x15=50.2155691721985x_{15} = 50.2155691721985
x16=18.7678542451706x_{16} = 18.7678542451706
Puntos máximos de la función:
x16=84.8613906302444x_{16} = 84.8613906302444
x16=78.5797110212012x_{16} = 78.5797110212012
x16=97.4251994117561x_{16} = 97.4251994117561
x16=47.1753876712831x_{16} = 47.1753876712831
x16=53.455450939062x_{16} = 53.455450939062
x16=147.683951814101x_{16} = 147.683951814101
x16=72.2982236659435x_{16} = 72.2982236659435
x16=34.6176459701182x_{16} = 34.6176459701182
x16=3.33638279476936x_{16} = 3.33638279476936
x16=9.53949957697623x_{16} = 9.53949957697623
x16=59.7360206738079x_{16} = 59.7360206738079
x16=66.0169732880922x_{16} = 66.0169732880922
x16=28.3407951710726x_{16} = 28.3407951710726
x16=945.630886239327x_{16} = 945.630886239327
x16=40.8960186130528x_{16} = 40.8960186130528
x16=22.0664840127627x_{16} = 22.0664840127627
x16=91.1432287574617x_{16} = 91.1432287574617
x16=15.7970353560729x_{16} = 15.7970353560729
Decrece en los intervalos
[100.495689562389,∞)\left[100.495689562389, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,6.14001432005001]\left(-\infty, 6.14001432005001\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2cos⁡(x)−24x32=02 \cos{\left(x \right)} - \frac{\sqrt{2}}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=70.6855372453602x_{1} = 70.6855372453602
x2=83.2519726003934x_{2} = 83.2519726003934
x3=23.563490390329x_{3} = 23.563490390329
x4=95.8183874603676x_{4} = 95.8183874603676
x5=54.9783050864767x_{5} = 54.9783050864767
x6=11.0004195001784x_{6} = 11.0004195001784
x7=4.72957649232573x_{7} = 4.72957649232573
x8=80.1108592068458x_{8} = 80.1108592068458
x9=48.6952063610269x_{9} = 48.6952063610269
x10=20.4184362657443x_{10} = 20.4184362657443
x11=14.133840073285x_{11} = 14.133840073285
x12=36.1291295432853x_{12} = 36.1291295432853
x13=26.7022563960551x_{13} = 26.7022563960551
x14=86.3940181139943x_{14} = 86.3940181139943
x15=120.951184267845x_{15} = 120.951184267845
x16=42.4121408378661x_{16} = 42.4121408378661
x17=89.5351819696009x_{17} = 89.5351819696009
x18=39.2691898016105x_{18} = 39.2691898016105
x19=64.4023073617563x_{19} = 64.4023073617563
x20=7.84593781289641x_{20} = 7.84593781289641
x21=61.2614254205827x_{21} = 61.2614254205827
x22=45.5525184921447x_{22} = 45.5525184921447
x23=76.9687582228036x_{23} = 76.9687582228036
x24=29.8462143636987x_{24} = 29.8462143636987
x25=98.960348157834x_{25} = 98.960348157834
x26=58.1190651151165x_{26} = 58.1190651151165
x27=32.9857897486096x_{27} = 32.9857897486096
x28=92.6771814179924x_{28} = 92.6771814179924
x29=73.8277060330417x_{29} = 73.8277060330417
x30=17.2812203240319x_{30} = 17.2812203240319
x31=67.5445605008568x_{31} = 67.5445605008568
x32=51.8358051094598x_{32} = 51.8358051094598
x33=1.47161090913314x_{33} = 1.47161090913314

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[98.960348157834,∞)\left[98.960348157834, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,4.72957649232573]\left(-\infty, 4.72957649232573\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2x−2cos⁡(x))=⟨−2,2⟩+∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{2 x} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle + \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,2⟩+∞iy = \left\langle -2, 2\right\rangle + \infty i
lim⁡x→∞(2x−2cos⁡(x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{2 x} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(2*x) - 2*cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2x−2cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{2 x} - 2 \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2x−2cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{2 x} - 2 \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2x−2cos⁡(x)=2−x−2cos⁡(x)\sqrt{2 x} - 2 \cos{\left(x \right)} = \sqrt{2} \sqrt{- x} - 2 \cos{\left(x \right)}
- No
2x−2cos⁡(x)=−2−x+2cos⁡(x)\sqrt{2 x} - 2 \cos{\left(x \right)} = - \sqrt{2} \sqrt{- x} + 2 \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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