Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3+3*x^2+2
-
-sqrt(3*x+1)
-
x*(-1-log(x))
-
x+1/(x-1)^2
-
Expresiones idénticas
- sqrt(x^ dos (cuatro -x^ dos))
- raíz cuadrada de (x al cuadrado (4 menos x al cuadrado ))
- raíz cuadrada de (x en el grado dos (cuatro menos x en el grado dos))
- √(x^2(4-x^2))
- sqrt(x2(4-x2))
- sqrtx24-x2
- sqrt(x²(4-x²))
- sqrt(x en el grado 2(4-x en el grado 2))
- sqrtx^24-x^2
-
Expresiones semejantes
- sqrt(x^2(4+x^2))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt((x-4)/(x+1))
- sqrt(x^2)-x+1
- sqrt(x^2-4x+3)
- sqrt(|x|-1)
- sqrt(5-2*x)
Gráfico de la función y = sqrt(x^2(4-x^2))
Solución
Ha introducido
[src]
_____________
/ 2 / 2\
f(x) = \/ x *\4 - x /
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{x^{2} \left(4 - x^{2}\right)}$$
f = sqrt(x^2*(4 - x^2))
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{x^{2} \left(4 - x^{2}\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = -2$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{x^{2} \left(4 - x^{2}\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = -2$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sqrt{4 - x^{2}} \left|{x}\right| \left(- x^{3} + x \left(4 - x^{2}\right)\right)}{x^{2} \left(4 - x^{2}\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\sqrt{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sqrt{4 - x^{2}} \left|{x}\right| \left(- x^{3} + x \left(4 - x^{2}\right)\right)}{x^{2} \left(4 - x^{2}\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
___ (-\/ 2, 2)
___ (\/ 2, 2)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\sqrt{2}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(- \frac{2 \left(x^{2} - 2\right) \left|{x}\right|}{\left(4 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{\left(x^{2} - 2\right) \left(\frac{x \left|{x}\right|}{\sqrt{4 - x^{2}}} - \sqrt{4 - x^{2}} \operatorname{sign}{\left(x \right)}\right)}{x \left(x^{2} - 4\right)} + \frac{2 \left(x^{2} - 2\right) \left|{x}\right|}{x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}} - \frac{\left(3 x^{2} - 2\right) \left|{x}\right|}{x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \sqrt{6}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(- \frac{2 \left(x^{2} - 2\right) \left|{x}\right|}{\left(4 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{\left(x^{2} - 2\right) \left(\frac{x \left|{x}\right|}{\sqrt{4 - x^{2}}} - \sqrt{4 - x^{2}} \operatorname{sign}{\left(x \right)}\right)}{x \left(x^{2} - 4\right)} + \frac{2 \left(x^{2} - 2\right) \left|{x}\right|}{x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}} - \frac{\left(3 x^{2} - 2\right) \left|{x}\right|}{x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \sqrt{6}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^{2} \left(4 - x^{2}\right)} = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} \left(4 - x^{2}\right)} = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^{2} \left(4 - x^{2}\right)} = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} \left(4 - x^{2}\right)} = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x^2*(4 - x^2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{4 - x^{2}} \left|{x}\right|}{x}\right) = - \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{4 - x^{2}} \left|{x}\right|}{x}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{4 - x^{2}} \left|{x}\right|}{x}\right) = - \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{4 - x^{2}} \left|{x}\right|}{x}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{x^{2} \left(4 - x^{2}\right)} = \sqrt{x^{2} \left(4 - x^{2}\right)}$$
- Sí
$$\sqrt{x^{2} \left(4 - x^{2}\right)} = - \sqrt{x^{2} \left(4 - x^{2}\right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{x^{2} \left(4 - x^{2}\right)} = \sqrt{x^{2} \left(4 - x^{2}\right)}$$
- Sí
$$\sqrt{x^{2} \left(4 - x^{2}\right)} = - \sqrt{x^{2} \left(4 - x^{2}\right)}$$
- No
es decir, función
es
par