Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(log((x-1)/(3x-5))/log(1/2))

Gráfico de la función y = sqrt(log((x-1)/(3x-5))/log(1/2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             ______________
            /    / x - 1 \ 
           /  log|-------| 
          /      \3*x - 5/ 
f(x) =   /    ------------ 
       \/       log(1/2)
f(x)=log⁡(x−13x−5)log⁡(12)f{\left(x \right)} = \sqrt{\frac{\log{\left(\frac{x - 1}{3 x - 5} \right)}}{\log{\left(\frac{1}{2} \right)}}} 
f = sqrt(log((x - 1)/(3*x - 5))/log(1/2))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101004
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1.66666666666667x_{1} = 1.66666666666667
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(x−13x−5)log⁡(12)=0\sqrt{\frac{\log{\left(\frac{x - 1}{3 x - 5} \right)}}{\log{\left(\frac{1}{2} \right)}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=2x_{1} = 2
Solución numérica
x1=2x_{1} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(log((x - 1)/(3*x - 5))/log(1/2)).
log⁡(−1−5+0⋅3)log⁡(12)\sqrt{\frac{\log{\left(- \frac{1}{-5 + 0 \cdot 3} \right)}}{\log{\left(\frac{1}{2} \right)}}}
Resultado:
f(0)=log⁡(5)log⁡(2)f{\left(0 \right)} = \frac{\sqrt{\log{\left(5 \right)}}}{\sqrt{\log{\left(2 \right)}}}
Punto:
(0, sqrt(log(5))/sqrt(log(2)))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
log⁡(x−13x−5)log⁡(12)(3x−5)(−3(x−1)(3x−5)2+13x−5)2(x−1)log⁡(x−13x−5)=0\frac{\sqrt{\frac{\log{\left(\frac{x - 1}{3 x - 5} \right)}}{\log{\left(\frac{1}{2} \right)}}} \left(3 x - 5\right) \left(- \frac{3 \left(x - 1\right)}{\left(3 x - 5\right)^{2}} + \frac{1}{3 x - 5}\right)}{2 \left(x - 1\right) \log{\left(\frac{x - 1}{3 x - 5} \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1.66666666666667x_{1} = 1.66666666666667
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(x−13x−5)log⁡(12)=log⁡(3)log⁡(2)\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\frac{\log{\left(\frac{x - 1}{3 x - 5} \right)}}{\log{\left(\frac{1}{2} \right)}}} = \frac{\sqrt{\log{\left(3 \right)}}}{\sqrt{\log{\left(2 \right)}}}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=log⁡(3)log⁡(2)y = \frac{\sqrt{\log{\left(3 \right)}}}{\sqrt{\log{\left(2 \right)}}}
lim⁡x→∞log⁡(x−13x−5)log⁡(12)=log⁡(3)log⁡(2)\lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{\log{\left(\frac{x - 1}{3 x - 5} \right)}}{\log{\left(\frac{1}{2} \right)}}} = \frac{\sqrt{\log{\left(3 \right)}}}{\sqrt{\log{\left(2 \right)}}}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=log⁡(3)log⁡(2)y = \frac{\sqrt{\log{\left(3 \right)}}}{\sqrt{\log{\left(2 \right)}}}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(log((x - 1)/(3*x - 5))/log(1/2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x−13x−5)log⁡(12)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{\log{\left(\frac{x - 1}{3 x - 5} \right)}}{\log{\left(\frac{1}{2} \right)}}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(x−13x−5)log⁡(12)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{\log{\left(\frac{x - 1}{3 x - 5} \right)}}{\log{\left(\frac{1}{2} \right)}}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(x−13x−5)log⁡(12)=log⁡(−x−1−3x−5)log⁡(12)\sqrt{\frac{\log{\left(\frac{x - 1}{3 x - 5} \right)}}{\log{\left(\frac{1}{2} \right)}}} = \sqrt{\frac{\log{\left(\frac{- x - 1}{- 3 x - 5} \right)}}{\log{\left(\frac{1}{2} \right)}}}
- No
log⁡(x−13x−5)log⁡(12)=−log⁡(−x−1−3x−5)log⁡(12)\sqrt{\frac{\log{\left(\frac{x - 1}{3 x - 5} \right)}}{\log{\left(\frac{1}{2} \right)}}} = - \sqrt{\frac{\log{\left(\frac{- x - 1}{- 3 x - 5} \right)}}{\log{\left(\frac{1}{2} \right)}}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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