Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 0,5*(x+3)(x-1)(x-2)

Gráfico de la función y = 0,5*(x+3)(x-1)(x-2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       x + 3                
f(x) = -----*(x - 1)*(x - 2)
         2
f(x)=(x−1)x+32(x−2)f{\left(x \right)} = \left(x - 1\right) \frac{x + 3}{2} \left(x - 2\right) 
f = ((x - 1)*((x + 3)/2))*(x - 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-10001000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x−1)x+32(x−2)=0\left(x - 1\right) \frac{x + 3}{2} \left(x - 2\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3x_{1} = -3
x2=1x_{2} = 1
x3=2x_{3} = 2
Solución numérica
x1=2x_{1} = 2
x2=1x_{2} = 1
x3=−3x_{3} = -3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (((x + 3)/2)*(x - 1))*(x - 2).
(−2)(−1)32\left(-2\right) \left(-1\right) \frac{3}{2}
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = 3
Punto:
(0, 3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(x−1)x+32+(x−2)(x2+x+32−12)=0\left(x - 1\right) \frac{x + 3}{2} + \left(x - 2\right) \left(\frac{x}{2} + \frac{x + 3}{2} - \frac{1}{2}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−213x_{1} = - \frac{\sqrt{21}}{3}
x2=213x_{2} = \frac{\sqrt{21}}{3}
Signos de extremos en los puntos:
    ____   /       ____\ /       ____\ /      ____\ 
 -\/ 21    |     \/ 21 | |     \/ 21 | |3   \/ 21 | 
(--------, |-1 - ------|*|-2 - ------|*|- - ------|)
    3      \       3   / \       3   / \2     6   / 

   ____  /       ____\ /       ____\ /      ____\ 
 \/ 21   |     \/ 21 | |     \/ 21 | |3   \/ 21 | 
(------, |-1 + ------|*|-2 + ------|*|- + ------|)
   3     \       3   / \       3   / \2     6   /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=213x_{1} = \frac{\sqrt{21}}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=−213x_{1} = - \frac{\sqrt{21}}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,−213]∪[213,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{21}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−213,213]\left[- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3x=03 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x−1)x+32(x−2))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 1\right) \frac{x + 3}{2} \left(x - 2\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x−1)x+32(x−2))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 1\right) \frac{x + 3}{2} \left(x - 2\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (((x + 3)/2)*(x - 1))*(x - 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x−2)(x−1)(x+3)2x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{2 x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x−2)(x−1)(x+3)2x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x + 3\right)}{2 x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x−1)x+32(x−2)=(32−x2)(−x−2)(−x−1)\left(x - 1\right) \frac{x + 3}{2} \left(x - 2\right) = \left(\frac{3}{2} - \frac{x}{2}\right) \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)
- No
(x−1)x+32(x−2)=−(32−x2)(−x−2)(−x−1)\left(x - 1\right) \frac{x + 3}{2} \left(x - 2\right) = - \left(\frac{3}{2} - \frac{x}{2}\right) \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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