Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 2*lnx/(x+1)-1

Gráfico de la función y = 2*lnx/(x+1)-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       2*log(x)    
f(x) = -------- - 1
        x + 1
f(x)=−1+2log⁡(x)x+1f{\left(x \right)} = -1 + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x + 1} 
f = -1 + (2*log(x))/(x + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100-10
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−1+2log⁡(x)x+1=0-1 + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (2*log(x))/(x + 1) - 1.
2log⁡(0)1−1\frac{2 \log{\left(0 \right)}}{1} - 1
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2log⁡(x)(x+1)2+2x(x+1)=0- \frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2}{x \left(x + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=eW(e−1)+1x_{1} = e^{W\left(e^{-1}\right) + 1}
Signos de extremos en los puntos:
       / -1\                / -1\  
  1 + W\e  /         2 + 2*W\e  /  
(e         , -1 + ---------------)
                             / -1\ 
                        1 + W\e  / 
                   1 + e


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=eW(e−1)+1x_{1} = e^{W\left(e^{-1}\right) + 1}
Decrece en los intervalos
(−∞,eW(e−1)+1]\left(-\infty, e^{W\left(e^{-1}\right) + 1}\right]
Crece en los intervalos
[eW(e−1)+1,∞)\left[e^{W\left(e^{-1}\right) + 1}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(2log⁡(x)(x+1)2−2x(x+1)−1x2)x+1=0\frac{2 \left(\frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 1\right)} - \frac{1}{x^{2}}\right)}{x + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=60017.5418322687x_{1} = 60017.5418322687
x2=35643.6652135493x_{2} = 35643.6652135493
x3=55616.2085554841x_{3} = 55616.2085554841
x4=45666.9559962362x_{4} = 45666.9559962362
x5=58918.2997675932x_{5} = 58918.2997675932
x6=38993.7096045184x_{6} = 38993.7096045184
x7=46775.8585929223x_{7} = 46775.8585929223
x8=40108.3596863583x_{8} = 40108.3596863583
x9=56717.6479698102x_{9} = 56717.6479698102
x10=43446.3853380967x_{10} = 43446.3853380967
x11=37878.049873297x_{11} = 37878.049873297
x12=54514.006347851x_{12} = 54514.006347851
x13=48990.9866669728x_{13} = 48990.9866669728
x14=50097.2474900641x_{14} = 50097.2474900641
x15=53411.0255203816x_{15} = 53411.0255203816
x16=33405.1746958615x_{16} = 33405.1746958615
x17=34524.9318657011x_{17} = 34524.9318657011
x18=6.25101515538997x_{18} = 6.25101515538997
x19=31162.6486362084x_{19} = 31162.6486362084
x20=51202.6628244769x_{20} = 51202.6628244769
x21=41222.0125734309x_{21} = 41222.0125734309
x22=32284.4059538666x_{22} = 32284.4059538666
x23=36761.3705751831x_{23} = 36761.3705751831
x24=47883.8629099866x_{24} = 47883.8629099866
x25=52307.2498678697x_{25} = 52307.2498678697
x26=57818.3400272034x_{26} = 57818.3400272034
x27=42334.6825768463x_{27} = 42334.6825768463
x28=44557.1374212396x_{28} = 44557.1374212396
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1

lim⁡x→−1−(2(2log⁡(x)(x+1)2−2x(x+1)−1x2)x+1)=−∞i\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(\frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 1\right)} - \frac{1}{x^{2}}\right)}{x + 1}\right) = - \infty i
lim⁡x→−1+(2(2log⁡(x)(x+1)2−2x(x+1)−1x2)x+1)=∞i\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(\frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 1\right)} - \frac{1}{x^{2}}\right)}{x + 1}\right) = \infty i
- los límites no son iguales, signo
x1=−1x_{1} = -1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[6.25101515538997,∞)\left[6.25101515538997, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,6.25101515538997]\left(-\infty, 6.25101515538997\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−1+2log⁡(x)x+1)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(-1 + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x + 1}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−1y = -1
lim⁡x→∞(−1+2log⁡(x)x+1)=−1\lim_{x \to \infty}\left(-1 + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x + 1}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=−1y = -1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2*log(x))/(x + 1) - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−1+2log⁡(x)x+1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{-1 + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x + 1}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−1+2log⁡(x)x+1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x + 1}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−1+2log⁡(x)x+1=−1+2log⁡(−x)1−x-1 + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x + 1} = -1 + \frac{2 \log{\left(- x \right)}}{1 - x}
- No
−1+2log⁡(x)x+1=1−2log⁡(−x)1−x-1 + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x + 1} = 1 - \frac{2 \log{\left(- x \right)}}{1 - x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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