Sr Examen
Gráfico de la función y = ((x^2)-(3*x)-4)/(x+2)
Solución
Ha introducido
[src]
2
x - 3*x - 4
f(x) = ------------
x + 2
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{2} - 3 x\right) - 4}{x + 2}$$
f = (x^2 - 3*x - 4)/(x + 2)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{1} = -2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x^{2} - 3 x\right) - 4}{x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 4$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 4$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x^{2} - 3 x\right) - 4}{x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 4$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 4$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 x - 3}{x + 2} - \frac{\left(x^{2} - 3 x\right) - 4}{\left(x + 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2 + \sqrt{6}$$
$$x_{2} = - \sqrt{6} - 2$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -2 + \sqrt{6}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{6} - 2$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{6} - 2\right] \cup \left[-2 + \sqrt{6}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{6} - 2, -2 + \sqrt{6}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 x - 3}{x + 2} - \frac{\left(x^{2} - 3 x\right) - 4}{\left(x + 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2 + \sqrt{6}$$
$$x_{2} = - \sqrt{6} - 2$$
Signos de extremos en los puntos:
/ 2 \
___ | / ___\ ___|
___ \/ 6 *\2 + \-2 + \/ 6 / - 3*\/ 6 /
(-2 + \/ 6, -----------------------------------)
6 / 2 \
___ | / ___\ ___|
___ -\/ 6 *\2 + \-2 - \/ 6 / + 3*\/ 6 /
(-2 - \/ 6, -------------------------------------)
6 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -2 + \sqrt{6}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{6} - 2$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{6} - 2\right] \cup \left[-2 + \sqrt{6}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{6} - 2, -2 + \sqrt{6}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(1 - \frac{2 x - 3}{x + 2} - \frac{- x^{2} + 3 x + 4}{\left(x + 2\right)^{2}}\right)}{x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(1 - \frac{2 x - 3}{x + 2} - \frac{- x^{2} + 3 x + 4}{\left(x + 2\right)^{2}}\right)}{x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{1} = -2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 3 x\right) - 4}{x + 2}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 3 x\right) - 4}{x + 2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 3 x\right) - 4}{x + 2}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 3 x\right) - 4}{x + 2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - 3*x - 4)/(x + 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 3 x\right) - 4}{x \left(x + 2\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 3 x\right) - 4}{x \left(x + 2\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 3 x\right) - 4}{x \left(x + 2\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 3 x\right) - 4}{x \left(x + 2\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x^{2} - 3 x\right) - 4}{x + 2} = \frac{x^{2} + 3 x - 4}{2 - x}$$
- No
$$\frac{\left(x^{2} - 3 x\right) - 4}{x + 2} = - \frac{x^{2} + 3 x - 4}{2 - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x^{2} - 3 x\right) - 4}{x + 2} = \frac{x^{2} + 3 x - 4}{2 - x}$$
- No
$$\frac{\left(x^{2} - 3 x\right) - 4}{x + 2} = - \frac{x^{2} + 3 x - 4}{2 - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar