Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x^(-x)

Gráfico de la función y = x^(-x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        -x
f(x) = x
f(x)=x−xf{\left(x \right)} = x^{- x} 
f = x^(-x)
Gráfico de la función
0-80-60-40-2020406080-10010002e200
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x−x=0x^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=64.2764220502916x_{1} = 64.2764220502916
x2=25.2806452643681x_{2} = 25.2806452643681
x3=17.8621789580753x_{3} = 17.8621789580753
x4=90.0172197133402x_{4} = 90.0172197133402
x5=40.7008185334871x_{5} = 40.7008185334871
x6=97.9577449847454x_{6} = 97.9577449847454
x7=84.0668645196752x_{7} = 84.0668645196752
x8=78.1217137562714x_{8} = 78.1217137562714
x9=50.4883678417107x_{9} = 50.4883678417107
x10=48.5256579248935x_{10} = 48.5256579248935
x11=36.8089538973599x_{11} = 36.8089538973599
x12=52.4531671056038x_{12} = 52.4531671056038
x13=74.1616744241369x_{13} = 74.1616744241369
x14=66.2515244370976x_{14} = 66.2515244370976
x15=56.3882754605529x_{15} = 56.3882754605529
x16=92.0016823602586x_{16} = 92.0016823602586
x17=80.1027936325819x_{17} = 80.1027936325819
x18=12.7232134677106x_{18} = 12.7232134677106
x19=46.5652631261988x_{19} = 46.5652631261988
x20=54.4198599076161x_{20} = 54.4198599076161
x21=38.7527961149016x_{21} = 38.7527961149016
x22=16.0836819918647x_{22} = 16.0836819918647
x23=42.6525105443508x_{23} = 42.6525105443508
x24=60.3296936513303x_{24} = 60.3296936513303
x25=32.9364141972521x_{25} = 32.9364141972521
x26=103.917373707869x_{26} = 103.917373707869
x27=86.0497821231396x_{27} = 86.0497821231396
x28=14.3611565864339x_{28} = 14.3611565864339
x29=76.1413254531398x_{29} = 76.1413254531398
x30=72.1828107912713x_{30} = 72.1828107912713
x31=82.084523310173x_{31} = 82.084523310173
x32=93.9866062522323x_{32} = 93.9866062522323
x33=19.6799734728022x_{33} = 19.6799734728022
x34=62.302447588178x_{34} = 62.302447588178
x35=31.0094016395751x_{35} = 31.0094016395751
x36=68.2276718183737x_{36} = 68.2276718183737
x37=101.930466313076x_{37} = 101.930466313076
x38=29.0900385673919x_{38} = 29.0900385673919
x39=27.1798111509318x_{39} = 27.1798111509318
x40=23.3950885180201x_{40} = 23.3950885180201
x41=21.5265932118568x_{41} = 21.5265932118568
x42=34.8699087761587x_{42} = 34.8699087761587
x43=95.9719677706822x_{43} = 95.9719677706822
x44=58.3582640197134x_{44} = 58.3582640197134
x45=44.6074453668823x_{45} = 44.6074453668823
x46=88.033243790021x_{46} = 88.033243790021
x47=70.2047896673443x_{47} = 70.2047896673443
x48=99.9439174981987x_{48} = 99.9439174981987
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^(-x).
0−00^{- 0}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x−x(−log⁡(x)−1)=0x^{- x} \left(- \log{\left(x \right)} - 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e−1x_{1} = e^{-1}
Signos de extremos en los puntos:
       / -1\ 
  -1   \e  / 
(e , e     )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=e−1x_{1} = e^{-1}
Decrece en los intervalos
(−∞,e−1]\left(-\infty, e^{-1}\right]
Crece en los intervalos
[e−1,∞)\left[e^{-1}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x−x((log⁡(x)+1)2−1x)=0x^{- x} \left(\left(\log{\left(x \right)} + 1\right)^{2} - \frac{1}{x}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞x−x=0\lim_{x \to -\infty} x^{- x} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞x−x=0\lim_{x \to \infty} x^{- x} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^(-x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x−xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{- x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x−xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{- x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x−x=(−x)xx^{- x} = \left(- x\right)^{x}
- No
x−x=−(−x)xx^{- x} = - \left(- x\right)^{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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