Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x(√x-2)^2

Gráfico de la función y = x(√x-2)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                    2
         /  ___    \ 
f(x) = x*\\/ x  - 2/
$$f{\left(x \right)} = x \left(\sqrt{x} - 2\right)^{2}$$ 
f = x*(sqrt(x) - 2)^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x \left(\sqrt{x} - 2\right)^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
Solución numérica
$$x_{1} = 3.99999947403346$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 4$$
$$x_{4} = 4.00000118671225$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*(sqrt(x) - 2)^2.
$$0 \left(-2 + \sqrt{0}\right)^{2}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\sqrt{x} \left(\sqrt{x} - 2\right) + \left(\sqrt{x} - 2\right)^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 4$$
Signos de extremos en los puntos:
(1, 1)

(4, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 4$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 1$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1\right] \cup \left[4, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[1, 4\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{x \left(\frac{1}{x} - \frac{\sqrt{x} - 2}{x^{\frac{3}{2}}}\right)}{2} + \frac{2 \left(\sqrt{x} - 2\right)}{\sqrt{x}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{9}{4}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{9}{4}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{9}{4}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(\sqrt{x} - 2\right)^{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(\sqrt{x} - 2\right)^{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*(sqrt(x) - 2)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\sqrt{x} - 2\right)^{2} = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x} - 2\right)^{2} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x \left(\sqrt{x} - 2\right)^{2} = - x \left(\sqrt{- x} - 2\right)^{2}$$
- No
$$x \left(\sqrt{x} - 2\right)^{2} = x \left(\sqrt{- x} - 2\right)^{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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