Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{\frac{\left(\log{\left(x \right)} + \sqrt{2}\right)^{2}}{\log{\left(x \right)}^{2} + 2 \sqrt{2} \log{\left(x \right)} + 1} + \log{\left(x \right)} - 1 + \sqrt{2}}{x^{2} \sqrt{\log{\left(x \right)}^{2} + 2 \sqrt{2} \log{\left(x \right)} + 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = e^{- \sqrt{2} - \frac{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{69}}{2} + \frac{27}{2}}}{3} - \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{69}}{2} + \frac{27}{2}}}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[e^{- \sqrt{2} - \frac{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{69}}{2} + \frac{27}{2}}}{3} - \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{69}}{2} + \frac{27}{2}}}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, e^{- \sqrt{2} - \frac{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{69}}{2} + \frac{27}{2}}}{3} - \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{69}}{2} + \frac{27}{2}}}}\right]$$