Sr Examen

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  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • x*exp(-x) x*exp(-x)
  • x^2+x+1 x^2+x+1
  • (x^2-1)/(x^2+1) (x^2-1)/(x^2+1)
  • y=x^3-3x^2+4 y=x^3-3x^2+4
  • ¿cómo vas a descomponer esta expresión en fracciones?:
  • 1/(1-x^2)^2
  • Derivada de:
  • 1/(1-x^2)^2 1/(1-x^2)^2
  • Integral de d{x}:
  • 1/(1-x^2)^2

  • Expresiones idénticas

  • uno /(uno -x^ dos)^ dos
  • 1 dividir por (1 menos x al cuadrado ) al cuadrado
  • uno dividir por (uno menos x en el grado dos) en el grado dos
  • 1/(1-x2)2
  • 1/1-x22
  • 1/(1-x²)²
  • 1/(1-x en el grado 2) en el grado 2
  • 1/1-x^2^2
  • 1 dividir por (1-x^2)^2

  • Expresiones semejantes

  • 1/(1+x^2)^2
Trazado el gráfico de la función/ 1/(1-x^2)^2

Gráfico de la función y = 1/(1-x^2)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           1    
f(x) = ---------
               2
       /     2\ 
       \1 - x /
f(x)=1(1−x2)2f{\left(x \right)} = \frac{1}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}} 
f = 1/((1 - x^2)^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100200
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1(1−x2)2=0\frac{1}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/((1 - x^2)^2).
1(1−02)2\frac{1}{\left(1 - 0^{2}\right)^{2}}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4x(1−x2)(1−x2)2=0\frac{4 x}{\left(1 - x^{2}\right) \left(1 - x^{2}\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(6x2x2−1−1)(x2−1)3=0\frac{4 \left(\frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞1(1−x2)2=0\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞1(1−x2)2=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/((1 - x^2)^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1x(1−x2)2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \left(1 - x^{2}\right)^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1x(1−x2)2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(1 - x^{2}\right)^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1(1−x2)2=1(1−x2)2\frac{1}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}} = \frac{1}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}}
- Sí
1(1−x2)2=−1(1−x2)2\frac{1}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}} = - \frac{1}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}}
- No
es decir, función
es
par
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