Sr Examen

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Gráfico de la función y = (2-sqrt(4-x^2))/2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
              ________
             /      2 
       2 - \/  4 - x  
f(x) = ---------------
              2       
f(x)=24x22f{\left(x \right)} = \frac{2 - \sqrt{4 - x^{2}}}{2}
f = (2 - sqrt(4 - x^2))/2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.01.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
24x22=0\frac{2 - \sqrt{4 - x^{2}}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (2 - sqrt(4 - x^2))/2.
24022\frac{2 - \sqrt{4 - 0^{2}}}{2}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x24x2=0\frac{x}{2 \sqrt{4 - x^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x2x24124x2=0- \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} - 4} - 1}{2 \sqrt{4 - x^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
limx(24x22)=i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 - \sqrt{4 - x^{2}}}{2}\right) = - \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
limx(24x22)=i\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 - \sqrt{4 - x^{2}}}{2}\right) = - \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2 - sqrt(4 - x^2))/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
limx(24x22x)=i2\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 - \sqrt{4 - x^{2}}}{2 x}\right) = \frac{i}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=ix2y = \frac{i x}{2}
limx(24x22x)=i2\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 - \sqrt{4 - x^{2}}}{2 x}\right) = - \frac{i}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=ix2y = - \frac{i x}{2}
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
24x22=24x22\frac{2 - \sqrt{4 - x^{2}}}{2} = \frac{2 - \sqrt{4 - x^{2}}}{2}
- Sí
24x22=24x22\frac{2 - \sqrt{4 - x^{2}}}{2} = - \frac{2 - \sqrt{4 - x^{2}}}{2}
- No
es decir, función
es
par