Sr Examen

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arcsin(sin(x))
Trazado el gráfico de la función/ arcsin(sin(x))

Gráfico de la función y = arcsin(sin(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = asin(sin(x))
f(x)=asin⁡(sin⁡(x))f{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} 
f = asin(sin(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
asin⁡(sin⁡(x))=0\operatorname{asin}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=72.2566310325652x_{1} = 72.2566310325652
x2=−59.6902604182061x_{2} = -59.6902604182061
x3=358.141562509236x_{3} = 358.141562509236
x4=3.14159265358979x_{4} = 3.14159265358979
x5=−43.9822971502571x_{5} = -43.9822971502571
x6=81.6814089933346x_{6} = 81.6814089933346
x7=−100.530964914873x_{7} = -100.530964914873
x8=28.2743338823081x_{8} = 28.2743338823081
x9=65.9734457253857x_{9} = 65.9734457253857
x10=−31.4159265358979x_{10} = -31.4159265358979
x11=−9.42477796076938x_{11} = -9.42477796076938
x12=40.8407044966673x_{12} = 40.8407044966673
x13=56.5486677646163x_{13} = 56.5486677646163
x14=−56.5486677646163x_{14} = -56.5486677646163
x15=12.5663706143592x_{15} = 12.5663706143592
x16=43.9822971502571x_{16} = 43.9822971502571
x17=100.530964914873x_{17} = 100.530964914873
x18=−3.14159265358979x_{18} = -3.14159265358979
x19=−15.707963267949x_{19} = -15.707963267949
x20=59.6902604182061x_{20} = 59.6902604182061
x21=−135.088484104361x_{21} = -135.088484104361
x22=6.28318530717959x_{22} = 6.28318530717959
x23=9.42477796076938x_{23} = 9.42477796076938
x24=−53.4070751110265x_{24} = -53.4070751110265
x25=−47.1238898038469x_{25} = -47.1238898038469
x26=−87.9645943005142x_{26} = -87.9645943005142
x27=69.1150383789755x_{27} = 69.1150383789755
x28=21.9911485751286x_{28} = 21.9911485751286
x29=87.9645943005142x_{29} = 87.9645943005142
x30=18.8495559215388x_{30} = 18.8495559215388
x31=−84.8230016469244x_{31} = -84.8230016469244
x32=−72.2566310325652x_{32} = -72.2566310325652
x33=25.1327412287183x_{33} = 25.1327412287183
x34=37.6991118430775x_{34} = 37.6991118430775
x35=−25.1327412287183x_{35} = -25.1327412287183
x36=0x_{36} = 0
x37=50.2654824574367x_{37} = 50.2654824574367
x38=−6.28318530717959x_{38} = -6.28318530717959
x39=−65.9734457253857x_{39} = -65.9734457253857
x40=−21.9911485751286x_{40} = -21.9911485751286
x41=−62.8318530717959x_{41} = -62.8318530717959
x42=75.398223686155x_{42} = 75.398223686155
x43=84.8230016469244x_{43} = 84.8230016469244
x44=53.4070751110265x_{44} = 53.4070751110265
x45=34.5575191894877x_{45} = 34.5575191894877
x46=−28.2743338823081x_{46} = -28.2743338823081
x47=15.707963267949x_{47} = 15.707963267949
x48=−91.106186954104x_{48} = -91.106186954104
x49=47.1238898038469x_{49} = 47.1238898038469
x50=97.3893722612836x_{50} = 97.3893722612836
x51=−69.1150383789755x_{51} = -69.1150383789755
x52=94.2477796076938x_{52} = 94.2477796076938
x53=−18.8495559215388x_{53} = -18.8495559215388
x54=−50.2654824574367x_{54} = -50.2654824574367
x55=−37.6991118430775x_{55} = -37.6991118430775
x56=−81.6814089933346x_{56} = -81.6814089933346
x57=62.8318530717959x_{57} = 62.8318530717959
x58=78.5398163397448x_{58} = 78.5398163397448
x59=31.4159265358979x_{59} = 31.4159265358979
x60=−78.5398163397448x_{60} = -78.5398163397448
x61=−40.8407044966673x_{61} = -40.8407044966673
x62=−97.3893722612836x_{62} = -97.3893722612836
x63=−75.398223686155x_{63} = -75.398223686155
x64=91.106186954104x_{64} = 91.106186954104
x65=−12.5663706143592x_{65} = -12.5663706143592
x66=−94.2477796076938x_{66} = -94.2477796076938
x67=−34.5575191894877x_{67} = -34.5575191894877
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en asin(sin(x)).
asin⁡(sin⁡(0))\operatorname{asin}{\left(\sin{\left(0 \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x)1−sin⁡2(x)=0\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(−1+cos⁡2(x)1−sin⁡2(x))sin⁡(x)1−sin⁡2(x)=0\frac{\left(-1 + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left(x \right)}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞asin⁡(sin⁡(x))=asin⁡(⟨−1,1⟩)\lim_{x \to -\infty} \operatorname{asin}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = \operatorname{asin}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=asin⁡(⟨−1,1⟩)y = \operatorname{asin}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
lim⁡x→∞asin⁡(sin⁡(x))=asin⁡(⟨−1,1⟩)\lim_{x \to \infty} \operatorname{asin}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = \operatorname{asin}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=asin⁡(⟨−1,1⟩)y = \operatorname{asin}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función asin(sin(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(asin⁡(sin⁡(x))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(asin⁡(sin⁡(x))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
asin⁡(sin⁡(x))=−asin⁡(sin⁡(x))\operatorname{asin}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = - \operatorname{asin}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}
- No
asin⁡(sin⁡(x))=asin⁡(sin⁡(x))\operatorname{asin}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = \operatorname{asin}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}
- Sí
es decir, función
es
impar
Gráfico
Gráfico de la función y = arcsin(sin(x))
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