Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ log(x)/x^(-2)

Gráfico de la función y = log(x)/x^(-2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       log(x)
f(x) = ------
        /1 \ 
        |--| 
        | 2| 
        \x /
f(x)=log⁡(x)1x2f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)}}{\frac{1}{x^{2}}} 
f = log(x)/x^(-2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-250250
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(x)1x2=0\frac{\log{\left(x \right)}}{\frac{1}{x^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x)/x^(-2).
log⁡(0)10\frac{\log{\left(0 \right)}}{\frac{1}{0}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x2x+2xlog⁡(x)=0\frac{x^{2}}{x} + 2 x \log{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e−12x_{1} = e^{- \frac{1}{2}}
Signos de extremos en los puntos:
          -1  
  -1/2  -e    
(e   , -----)
          2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=e−12x_{1} = e^{- \frac{1}{2}}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[e−12,∞)\left[e^{- \frac{1}{2}}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,e−12]\left(-\infty, e^{- \frac{1}{2}}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2log⁡(x)+3=02 \log{\left(x \right)} + 3 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e−32x_{1} = e^{- \frac{3}{2}}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(2log⁡(x)+3)=−∞\lim_{x \to 0^-}\left(2 \log{\left(x \right)} + 3\right) = -\infty
lim⁡x→0+(2log⁡(x)+3)=−∞\lim_{x \to 0^+}\left(2 \log{\left(x \right)} + 3\right) = -\infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[e−32,∞)\left[e^{- \frac{3}{2}}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,e−32]\left(-\infty, e^{- \frac{3}{2}}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x)1x2)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\frac{1}{x^{2}}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(log⁡(x)1x2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\frac{1}{x^{2}}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x)/x^(-2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2log⁡(x)x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(x2log⁡(x)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(x)1x2=x2log⁡(−x)\frac{\log{\left(x \right)}}{\frac{1}{x^{2}}} = x^{2} \log{\left(- x \right)}
- No
log⁡(x)1x2=−x2log⁡(−x)\frac{\log{\left(x \right)}}{\frac{1}{x^{2}}} = - x^{2} \log{\left(- x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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