Sr Examen

Otras calculadoras

log(1-cos(2*x))
Trazado el gráfico de la función/ log(1-cos(2*x))

Gráfico de la función y = log(1-cos(2*x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = log(1 - cos(2*x))
f(x)=log⁡(1−cos⁡(2x))f{\left(x \right)} = \log{\left(1 - \cos{\left(2 x \right)} \right)} 
f = log(1 - cos(2*x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(1−cos⁡(2x))=0\log{\left(1 - \cos{\left(2 x \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
x2=3π4x_{2} = \frac{3 \pi}{4}
Solución numérica
x1=−55.7632696012188x_{1} = -55.7632696012188
x2=−98.174770424681x_{2} = -98.174770424681
x3=66.7588438887831x_{3} = 66.7588438887831
x4=−214.413698607503x_{4} = -214.413698607503
x5=80.8960108299372x_{5} = 80.8960108299372
x6=−11.7809724509617x_{6} = -11.7809724509617
x7=25.9181393921158x_{7} = 25.9181393921158
x8=93.4623814442964x_{8} = 93.4623814442964
x9=−40.0553063332699x_{9} = -40.0553063332699
x10=18.0641577581413x_{10} = 18.0641577581413
x11=−13.3517687777566x_{11} = -13.3517687777566
x12=55.7632696012188x_{12} = 55.7632696012188
x13=−16.4933614313464x_{13} = -16.4933614313464
x14=−49.4800842940392x_{14} = -49.4800842940392
x15=96.6039740978861x_{15} = 96.6039740978861
x16=−41.6261026600648x_{16} = -41.6261026600648
x17=52.621676947629x_{17} = 52.621676947629
x18=76.1836218495525x_{18} = 76.1836218495525
x19=69.9004365423729x_{19} = 69.9004365423729
x20=30.6305283725005x_{20} = 30.6305283725005
x21=85.6083998103219x_{21} = 85.6083998103219
x22=−19.6349540849362x_{22} = -19.6349540849362
x23=−21.2057504117311x_{23} = -21.2057504117311
x24=−3.92699081698724x_{24} = -3.92699081698724
x25=38.484510006475x_{25} = 38.484510006475
x26=32.2013246992954x_{26} = 32.2013246992954
x27=27.4889357189107x_{27} = 27.4889357189107
x28=−7.06858347057703x_{28} = -7.06858347057703
x29=84.037603483527x_{29} = 84.037603483527
x30=−91.8915851175014x_{30} = -91.8915851175014
x31=98.174770424681x_{31} = 98.174770424681
x32=44.7676953136546x_{32} = 44.7676953136546
x33=−85.6083998103219x_{33} = -85.6083998103219
x34=−87.1791961371168x_{34} = -87.1791961371168
x35=41.6261026600648x_{35} = 41.6261026600648
x36=91.8915851175014x_{36} = 91.8915851175014
x37=−2.35619449019234x_{37} = -2.35619449019234
x38=16.4933614313464x_{38} = 16.4933614313464
x39=46.3384916404494x_{39} = 46.3384916404494
x40=231.692458202247x_{40} = 231.692458202247
x41=71.4712328691678x_{41} = 71.4712328691678
x42=63.6172512351933x_{42} = 63.6172512351933
x43=54.1924732744239x_{43} = 54.1924732744239
x44=−43.1968989868597x_{44} = -43.1968989868597
x45=−84.037603483527x_{45} = -84.037603483527
x46=−93.4623814442964x_{46} = -93.4623814442964
x47=47.9092879672443x_{47} = 47.9092879672443
x48=24.3473430653209x_{48} = 24.3473430653209
x49=−5.49778714378214x_{49} = -5.49778714378214
x50=68.329640215578x_{50} = 68.329640215578
x51=−65.1880475619882x_{51} = -65.1880475619882
x52=62.0464549083984x_{52} = 62.0464549083984
x53=−68.329640215578x_{53} = -68.329640215578
x54=−38.484510006475x_{54} = -38.484510006475
x55=74.6128255227576x_{55} = 74.6128255227576
x56=5.49778714378214x_{56} = 5.49778714378214
x57=−47.9092879672443x_{57} = -47.9092879672443
x58=40.0553063332699x_{58} = 40.0553063332699
x59=−57.3340659280137x_{59} = -57.3340659280137
x60=49.4800842940392x_{60} = 49.4800842940392
x61=−25.9181393921158x_{61} = -25.9181393921158
x62=−76.1836218495525x_{62} = -76.1836218495525
x63=88.7499924639117x_{63} = 88.7499924639117
x64=99.7455667514759x_{64} = 99.7455667514759
x65=−62.0464549083984x_{65} = -62.0464549083984
x66=−82.4668071567321x_{66} = -82.4668071567321
x67=−71.4712328691678x_{67} = -71.4712328691678
x68=60.4756585816035x_{68} = 60.4756585816035
x69=−33.7721210260903x_{69} = -33.7721210260903
x70=77.7544181763474x_{70} = 77.7544181763474
x71=−46.3384916404494x_{71} = -46.3384916404494
x72=−63.6172512351933x_{72} = -63.6172512351933
x73=−90.3207887907066x_{73} = -90.3207887907066
x74=−35.3429173528852x_{74} = -35.3429173528852
x75=8.63937979737193x_{75} = 8.63937979737193
x76=−10.2101761241668x_{76} = -10.2101761241668
x77=−18.0641577581413x_{77} = -18.0641577581413
x78=−27.4889357189107x_{78} = -27.4889357189107
x79=−54.1924732744239x_{79} = -54.1924732744239
x80=22.776546738526x_{80} = 22.776546738526
x81=3.92699081698724x_{81} = 3.92699081698724
x82=−79.3252145031423x_{82} = -79.3252145031423
x83=−99.7455667514759x_{83} = -99.7455667514759
x84=82.4668071567321x_{84} = 82.4668071567321
x85=33.7721210260903x_{85} = 33.7721210260903
x86=11.7809724509617x_{86} = 11.7809724509617
x87=10.2101761241668x_{87} = 10.2101761241668
x88=19.6349540849362x_{88} = 19.6349540849362
x89=121.736715326604x_{89} = 121.736715326604
x90=−77.7544181763474x_{90} = -77.7544181763474
x91=−69.9004365423729x_{91} = -69.9004365423729
x92=2.35619449019234x_{92} = 2.35619449019234
x93=−24.3473430653209x_{93} = -24.3473430653209
x94=−60.4756585816035x_{94} = -60.4756585816035
x95=−80.8960108299372x_{95} = -80.8960108299372
x96=90.3207887907066x_{96} = 90.3207887907066
x97=−32.2013246992954x_{97} = -32.2013246992954
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(1 - cos(2*x)).
log⁡(1−cos⁡(0⋅2))\log{\left(1 - \cos{\left(0 \cdot 2 \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2sin⁡(2x)1−cos⁡(2x)=0\frac{2 \sin{\left(2 x \right)}}{1 - \cos{\left(2 x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 pi         
(--, log(2))
 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,π2]\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right]
Crece en los intervalos
[π2,∞)\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−4(cos⁡(2x)+sin⁡2(2x)cos⁡(2x)−1)cos⁡(2x)−1=0- \frac{4 \left(\cos{\left(2 x \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)} - 1}\right)}{\cos{\left(2 x \right)} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(1−cos⁡(2x))=log⁡(⟨0,2⟩)\lim_{x \to -\infty} \log{\left(1 - \cos{\left(2 x \right)} \right)} = \log{\left(\left\langle 0, 2\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=log⁡(⟨0,2⟩)y = \log{\left(\left\langle 0, 2\right\rangle \right)}
lim⁡x→∞log⁡(1−cos⁡(2x))=log⁡(⟨0,2⟩)\lim_{x \to \infty} \log{\left(1 - \cos{\left(2 x \right)} \right)} = \log{\left(\left\langle 0, 2\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=log⁡(⟨0,2⟩)y = \log{\left(\left\langle 0, 2\right\rangle \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(1 - cos(2*x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(1−cos⁡(2x))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(1 - \cos{\left(2 x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(1−cos⁡(2x))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(1 - \cos{\left(2 x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(1−cos⁡(2x))=log⁡(1−cos⁡(2x))\log{\left(1 - \cos{\left(2 x \right)} \right)} = \log{\left(1 - \cos{\left(2 x \right)} \right)}
- Sí
log⁡(1−cos⁡(2x))=−log⁡(1−cos⁡(2x))\log{\left(1 - \cos{\left(2 x \right)} \right)} = - \log{\left(1 - \cos{\left(2 x \right)} \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = log(1-cos(2*x))
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