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x/(4+x^2)
Trazado el gráfico de la función/ x/(4+x^2)

Gráfico de la función y = x/(4+x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         x   
f(x) = ------
            2
       4 + x
$$f{\left(x \right)} = \frac{x}{x^{2} + 4}$$ 
f = x/(x^2 + 4)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x}{x^{2} + 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x/(4 + x^2).
$$\frac{0}{0^{2} + 4}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Signos de extremos en los puntos:
(-2, -1/4)

(2, 1/4)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -2$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 2$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-2, 2\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 4} - 3\right)}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 2 \sqrt{3}$$
$$x_{3} = 2 \sqrt{3}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- 2 \sqrt{3}, 0\right] \cup \left[2 \sqrt{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \sqrt{3}\right] \cup \left[0, 2 \sqrt{3}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{x^{2} + 4}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{x^{2} + 4}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/(4 + x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^{2} + 4} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2} + 4} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x}{x^{2} + 4} = - \frac{x}{x^{2} + 4}$$
- No
$$\frac{x}{x^{2} + 4} = \frac{x}{x^{2} + 4}$$
- Sí
es decir, función
es
impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x/(4+x^2)
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