Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 1/(x*sqrt(x+2))

Gráfico de la función y = 1/(x*sqrt(x+2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            1     
f(x) = -----------
           _______
       x*\/ x + 2
f(x)=1xx+2f{\left(x \right)} = \frac{1}{x \sqrt{x + 2}} 
f = 1/(x*sqrt(x + 2))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−2x_{1} = -2
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1xx+2=0\frac{1}{x \sqrt{x + 2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/(x*sqrt(x + 2)).
102\frac{1}{0 \sqrt{2}}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1xx+2(−x2x+2−x+2)xx+2=0\frac{\frac{1}{x \sqrt{x + 2}} \left(- \frac{x}{2 \sqrt{x + 2}} - \sqrt{x + 2}\right)}{x \sqrt{x + 2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−43x_{1} = - \frac{4}{3}
Signos de extremos en los puntos:
            ___ 
       -3*\/ 6  
(-4/3, --------)
          8


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−43x_{1} = - \frac{4}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,−43]\left(-\infty, - \frac{4}{3}\right]
Crece en los intervalos
[−43,∞)\left[- \frac{4}{3}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(xx+2+2x+2)(1x+2+2x)x+2+xx+2+2x+2(x+2)2+xx+2−4(x+2)32+2(xx+2+2x+2)x(x+2)4x2=0\frac{\frac{\left(\frac{x}{\sqrt{x + 2}} + 2 \sqrt{x + 2}\right) \left(\frac{1}{x + 2} + \frac{2}{x}\right)}{x + 2} + \frac{\frac{x}{\sqrt{x + 2}} + 2 \sqrt{x + 2}}{\left(x + 2\right)^{2}} + \frac{\frac{x}{x + 2} - 4}{\left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 \left(\frac{x}{\sqrt{x + 2}} + 2 \sqrt{x + 2}\right)}{x \left(x + 2\right)}}{4 x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−2x_{1} = -2
x2=0x_{2} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞1xx+2=0\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x \sqrt{x + 2}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞1xx+2=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x \sqrt{x + 2}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(x*sqrt(x + 2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1x1x+2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{x} \frac{1}{\sqrt{x + 2}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1x1x+2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x} \frac{1}{\sqrt{x + 2}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1xx+2=−1x2−x\frac{1}{x \sqrt{x + 2}} = - \frac{1}{x \sqrt{2 - x}}
- No
1xx+2=1x2−x\frac{1}{x \sqrt{x + 2}} = \frac{1}{x \sqrt{2 - x}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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