Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ laplace(3)/(s^2+4)

Gráfico de la función y = laplace(3)/(s^2+4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       /       /  3  \\
       |1 + erf|-----||
       |       |  ___||
       |       \\/ 2 /|
       |--------------|
       \      2       /
f(s) = ----------------
             2         
            s  + 4
f(s)=12(erf⁡(32)+1)s2+4f{\left(s \right)} = \frac{\frac{1}{2} \left(\operatorname{erf}{\left(\frac{3}{\sqrt{2}} \right)} + 1\right)}{s^{2} + 4} 
f = ((erf(3/sqrt(2)) + 1)/2)/(s^2 + 4)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.000.50
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje S con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
12(erf⁡(32)+1)s2+4=0\frac{\frac{1}{2} \left(\operatorname{erf}{\left(\frac{3}{\sqrt{2}} \right)} + 1\right)}{s^{2} + 4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje S
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando s es igual a 0:
sustituimos s = 0 en ((1 + erf(3/sqrt(2)))/2)/(s^2 + 4).
12(erf⁡(32)+1)02+4\frac{\frac{1}{2} \left(\operatorname{erf}{\left(\frac{3}{\sqrt{2}} \right)} + 1\right)}{0^{2} + 4}
Resultado:
f(0)=erf⁡(322)8+18f{\left(0 \right)} = \frac{\operatorname{erf}{\left(\frac{3 \sqrt{2}}{2} \right)}}{8} + \frac{1}{8}
Punto:
(0, 1/8 + erf(3*sqrt(2)/2)/8)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddsf(s)=0\frac{d}{d s} f{\left(s \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddsf(s)=\frac{d}{d s} f{\left(s \right)} =
primera derivada
−s(erf⁡(32)+1)(s2+4)2=0- \frac{s \left(\operatorname{erf}{\left(\frac{3}{\sqrt{2}} \right)} + 1\right)}{\left(s^{2} + 4\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
s1=0s_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
           /  3  \ 
    1 + erf|-----| 
           |  ___| 
           \\/ 2 / 
(0, --------------)
          8


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
s1=0s_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2ds2f(s)=0\frac{d^{2}}{d s^{2}} f{\left(s \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2ds2f(s)=\frac{d^{2}}{d s^{2}} f{\left(s \right)} =
segunda derivada
(4s2s2+4−1)(erf⁡(322)+1)(s2+4)2=0\frac{\left(\frac{4 s^{2}}{s^{2} + 4} - 1\right) \left(\operatorname{erf}{\left(\frac{3 \sqrt{2}}{2} \right)} + 1\right)}{\left(s^{2} + 4\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
s1=−233s_{1} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}
s2=233s_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−233]∪[233,∞)\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−233,233]\left[- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con s->+oo y s->-oo
lim⁡s→−∞(12(erf⁡(32)+1)s2+4)=0\lim_{s \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{2} \left(\operatorname{erf}{\left(\frac{3}{\sqrt{2}} \right)} + 1\right)}{s^{2} + 4}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡s→∞(12(erf⁡(32)+1)s2+4)=0\lim_{s \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{2} \left(\operatorname{erf}{\left(\frac{3}{\sqrt{2}} \right)} + 1\right)}{s^{2} + 4}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((1 + erf(3/sqrt(2)))/2)/(s^2 + 4), dividida por s con s->+oo y s ->-oo
lim⁡s→−∞(erf⁡(32)+12s(s2+4))=0\lim_{s \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{erf}{\left(\frac{3}{\sqrt{2}} \right)} + 1}{2 s \left(s^{2} + 4\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡s→∞(erf⁡(32)+12s(s2+4))=0\lim_{s \to \infty}\left(\frac{\operatorname{erf}{\left(\frac{3}{\sqrt{2}} \right)} + 1}{2 s \left(s^{2} + 4\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-s) и f = -f(-s).
Pues, comprobamos:
12(erf⁡(32)+1)s2+4=12(erf⁡(32)+1)s2+4\frac{\frac{1}{2} \left(\operatorname{erf}{\left(\frac{3}{\sqrt{2}} \right)} + 1\right)}{s^{2} + 4} = \frac{\frac{1}{2} \left(\operatorname{erf}{\left(\frac{3}{\sqrt{2}} \right)} + 1\right)}{s^{2} + 4}
- Sí
12(erf⁡(32)+1)s2+4=−12(erf⁡(32)+1)s2+4\frac{\frac{1}{2} \left(\operatorname{erf}{\left(\frac{3}{\sqrt{2}} \right)} + 1\right)}{s^{2} + 4} = - \frac{\frac{1}{2} \left(\operatorname{erf}{\left(\frac{3}{\sqrt{2}} \right)} + 1\right)}{s^{2} + 4}
- No
es decir, función
es
par
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