Sr Examen

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Gráfico de la función y = laplace(3)/(s^2+4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
       /       /  3  \\
       |1 + erf|-----||
       |       |  ___||
       |       \\/ 2 /|
       |--------------|
       \      2       /
f(s) = ----------------
             2         
            s  + 4     
$$f{\left(s \right)} = \frac{\frac{1}{2} \left(\operatorname{erf}{\left(\frac{3}{\sqrt{2}} \right)} + 1\right)}{s^{2} + 4}$$
f = ((erf(3/sqrt(2)) + 1)/2)/(s^2 + 4)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje S con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\frac{1}{2} \left(\operatorname{erf}{\left(\frac{3}{\sqrt{2}} \right)} + 1\right)}{s^{2} + 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje S
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando s es igual a 0:
sustituimos s = 0 en ((1 + erf(3/sqrt(2)))/2)/(s^2 + 4).
$$\frac{\frac{1}{2} \left(\operatorname{erf}{\left(\frac{3}{\sqrt{2}} \right)} + 1\right)}{0^{2} + 4}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{\operatorname{erf}{\left(\frac{3 \sqrt{2}}{2} \right)}}{8} + \frac{1}{8}$$
Punto:
(0, 1/8 + erf(3*sqrt(2)/2)/8)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d s} f{\left(s \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d s} f{\left(s \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{s \left(\operatorname{erf}{\left(\frac{3}{\sqrt{2}} \right)} + 1\right)}{\left(s^{2} + 4\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$s_{1} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
           /  3  \ 
    1 + erf|-----| 
           |  ___| 
           \\/ 2 / 
(0, --------------)
          8        


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$s_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d s^{2}} f{\left(s \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d s^{2}} f{\left(s \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\left(\frac{4 s^{2}}{s^{2} + 4} - 1\right) \left(\operatorname{erf}{\left(\frac{3 \sqrt{2}}{2} \right)} + 1\right)}{\left(s^{2} + 4\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$s_{1} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
$$s_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con s->+oo y s->-oo
$$\lim_{s \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{2} \left(\operatorname{erf}{\left(\frac{3}{\sqrt{2}} \right)} + 1\right)}{s^{2} + 4}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{s \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{2} \left(\operatorname{erf}{\left(\frac{3}{\sqrt{2}} \right)} + 1\right)}{s^{2} + 4}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((1 + erf(3/sqrt(2)))/2)/(s^2 + 4), dividida por s con s->+oo y s ->-oo
$$\lim_{s \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{erf}{\left(\frac{3}{\sqrt{2}} \right)} + 1}{2 s \left(s^{2} + 4\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{s \to \infty}\left(\frac{\operatorname{erf}{\left(\frac{3}{\sqrt{2}} \right)} + 1}{2 s \left(s^{2} + 4\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-s) и f = -f(-s).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\frac{1}{2} \left(\operatorname{erf}{\left(\frac{3}{\sqrt{2}} \right)} + 1\right)}{s^{2} + 4} = \frac{\frac{1}{2} \left(\operatorname{erf}{\left(\frac{3}{\sqrt{2}} \right)} + 1\right)}{s^{2} + 4}$$
- Sí
$$\frac{\frac{1}{2} \left(\operatorname{erf}{\left(\frac{3}{\sqrt{2}} \right)} + 1\right)}{s^{2} + 4} = - \frac{\frac{1}{2} \left(\operatorname{erf}{\left(\frac{3}{\sqrt{2}} \right)} + 1\right)}{s^{2} + 4}$$
- No
es decir, función
es
par