Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x-x^3
-
x^4-2x^2
-
1-x^3
-
x^2/(x-3)
- Derivada de:
-
(2-4*x^2)/(1-4*x^2)
- Límite de la función:
- (2-4*x^2)/(1-4*x^2)
-
Expresiones idénticas
- (dos - cuatro *x^ dos)/(uno - cuatro *x^ dos)
- (2 menos 4 multiplicar por x al cuadrado ) dividir por (1 menos 4 multiplicar por x al cuadrado )
- (dos menos cuatro multiplicar por x en el grado dos) dividir por (uno menos cuatro multiplicar por x en el grado dos)
- (2-4*x2)/(1-4*x2)
- 2-4*x2/1-4*x2
- (2-4*x²)/(1-4*x²)
- (2-4*x en el grado 2)/(1-4*x en el grado 2)
- (2-4x^2)/(1-4x^2)
- (2-4x2)/(1-4x2)
- 2-4x2/1-4x2
- 2-4x^2/1-4x^2
- (2-4*x^2) dividir por (1-4*x^2)
-
Expresiones semejantes
- (2-4*x^2)/(1+4*x^2)
- (2+4*x^2)/(1-4*x^2)
Gráfico de la función y = (2-4*x^2)/(1-4*x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
2
2 - 4*x
f(x) = --------
2
1 - 4*x
$$f{\left(x \right)} = \frac{2 - 4 x^{2}}{1 - 4 x^{2}}$$
f = (2 - 4*x^2)/(1 - 4*x^2)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -0.5$$
$$x_{2} = 0.5$$
$$x_{1} = -0.5$$
$$x_{2} = 0.5$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{2 - 4 x^{2}}{1 - 4 x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.707106781186548$$
$$x_{2} = 0.707106781186548$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{2 - 4 x^{2}}{1 - 4 x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.707106781186548$$
$$x_{2} = 0.707106781186548$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{8 x}{1 - 4 x^{2}} + \frac{8 x \left(2 - 4 x^{2}\right)}{\left(1 - 4 x^{2}\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{8 x}{1 - 4 x^{2}} + \frac{8 x \left(2 - 4 x^{2}\right)}{\left(1 - 4 x^{2}\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 2)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{8 \left(- \frac{16 x^{2}}{4 x^{2} - 1} + \frac{2 \left(2 x^{2} - 1\right) \left(\frac{16 x^{2}}{4 x^{2} - 1} - 1\right)}{4 x^{2} - 1} + 1\right)}{4 x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{8 \left(- \frac{16 x^{2}}{4 x^{2} - 1} + \frac{2 \left(2 x^{2} - 1\right) \left(\frac{16 x^{2}}{4 x^{2} - 1} - 1\right)}{4 x^{2} - 1} + 1\right)}{4 x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -0.5$$
$$x_{2} = 0.5$$
$$x_{1} = -0.5$$
$$x_{2} = 0.5$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 - 4 x^{2}}{1 - 4 x^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 - 4 x^{2}}{1 - 4 x^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 - 4 x^{2}}{1 - 4 x^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 - 4 x^{2}}{1 - 4 x^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2 - 4*x^2)/(1 - 4*x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 - 4 x^{2}}{x \left(1 - 4 x^{2}\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 - 4 x^{2}}{x \left(1 - 4 x^{2}\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 - 4 x^{2}}{x \left(1 - 4 x^{2}\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 - 4 x^{2}}{x \left(1 - 4 x^{2}\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{2 - 4 x^{2}}{1 - 4 x^{2}} = \frac{2 - 4 x^{2}}{1 - 4 x^{2}}$$
- Sí
$$\frac{2 - 4 x^{2}}{1 - 4 x^{2}} = - \frac{2 - 4 x^{2}}{1 - 4 x^{2}}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\frac{2 - 4 x^{2}}{1 - 4 x^{2}} = \frac{2 - 4 x^{2}}{1 - 4 x^{2}}$$
- Sí
$$\frac{2 - 4 x^{2}}{1 - 4 x^{2}} = - \frac{2 - 4 x^{2}}{1 - 4 x^{2}}$$
- No
es decir, función
es
par
Gráfico