Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x/(x^3+2)
-
x*e^(-x)^2
-
2*x^3-15*x^2+36*x-32
-
x*(x-4)
- Integral de d{x}:
- x^2-2*x+1/x
-
Expresiones idénticas
- x^ dos - dos *x+ uno /x
- x al cuadrado menos 2 multiplicar por x más 1 dividir por x
- x en el grado dos menos dos multiplicar por x más uno dividir por x
- x2-2*x+1/x
- x²-2*x+1/x
- x en el grado 2-2*x+1/x
- x^2-2x+1/x
- x2-2x+1/x
- x^2-2*x+1 dividir por x
-
Expresiones semejantes
- x^2-2*x-1/x
- x^2+2*x+1/x
Gráfico de la función y = x^2-2*x+1/x
Solución
Ha introducido
[src]
2 1
f(x) = x - 2*x + -
x
$$f{\left(x \right)} = \left(x^{2} - 2 x\right) + \frac{1}{x}$$
f = x^2 - 2*x + 1/x
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x^{2} - 2 x\right) + \frac{1}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -0.618033988749895$$
$$x_{3} = 1.61803398874989$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x^{2} - 2 x\right) + \frac{1}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -0.618033988749895$$
$$x_{3} = 1.61803398874989$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 x - 2 - \frac{1}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{105}}{36} + \frac{31}{108}}} + \frac{1}{3} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{105}}{36} + \frac{31}{108}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{105}}{36} + \frac{31}{108}}} + \frac{1}{3} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{105}}{36} + \frac{31}{108}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{105}}{36} + \frac{31}{108}}} + \frac{1}{3} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{105}}{36} + \frac{31}{108}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{105}}{36} + \frac{31}{108}}} + \frac{1}{3} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{105}}{36} + \frac{31}{108}}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 x - 2 - \frac{1}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{105}}{36} + \frac{31}{108}}} + \frac{1}{3} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{105}}{36} + \frac{31}{108}}$$
Signos de extremos en los puntos:
2
_______________ / _______________ \ _______________
/ _____ | / _____ | / _____
1 / 31 \/ 105 1 2 1 |1 / 31 \/ 105 1 | / 31 \/ 105 2
(- + 3 / --- + ------- + ----------------------, - - + ------------------------------------------------- + |- + 3 / --- + ------- + ----------------------| - 2*3 / --- + ------- - ----------------------)
3 \/ 108 36 _______________ 3 _______________ |3 \/ 108 36 _______________| \/ 108 36 _______________
/ _____ / _____ | / _____ | / _____
/ 31 \/ 105 1 / 31 \/ 105 1 | / 31 \/ 105 | / 31 \/ 105
9*3 / --- + ------- - + 3 / --- + ------- + ---------------------- | 9*3 / --- + ------- | 9*3 / --- + -------
\/ 108 36 3 \/ 108 36 _______________ \ \/ 108 36 / \/ 108 36
/ _____
/ 31 \/ 105
9*3 / --- + -------
\/ 108 36 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{105}}{36} + \frac{31}{108}}} + \frac{1}{3} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{105}}{36} + \frac{31}{108}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{105}}{36} + \frac{31}{108}}} + \frac{1}{3} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{105}}{36} + \frac{31}{108}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{105}}{36} + \frac{31}{108}}} + \frac{1}{3} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{105}}{36} + \frac{31}{108}}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(1 + \frac{1}{x^{3}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(2 \left(1 + \frac{1}{x^{3}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \left(1 + \frac{1}{x^{3}}\right)\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-1, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(1 + \frac{1}{x^{3}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(2 \left(1 + \frac{1}{x^{3}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \left(1 + \frac{1}{x^{3}}\right)\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-1, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + \frac{1}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + \frac{1}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + \frac{1}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + \frac{1}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2 - 2*x + 1/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) + \frac{1}{x}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) + \frac{1}{x}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) + \frac{1}{x}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) + \frac{1}{x}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(x^{2} - 2 x\right) + \frac{1}{x} = x^{2} + 2 x - \frac{1}{x}$$
- No
$$\left(x^{2} - 2 x\right) + \frac{1}{x} = - x^{2} - 2 x + \frac{1}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(x^{2} - 2 x\right) + \frac{1}{x} = x^{2} + 2 x - \frac{1}{x}$$
- No
$$\left(x^{2} - 2 x\right) + \frac{1}{x} = - x^{2} - 2 x + \frac{1}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar