Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (3x^2+2x+15)/(x+4)

Gráfico de la función y = (3x^2+2x+15)/(x+4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2           
       3*x  + 2*x + 15
f(x) = ---------------
            x + 4
f(x)=(3x2+2x)+15x+4f{\left(x \right)} = \frac{\left(3 x^{2} + 2 x\right) + 15}{x + 4} 
f = (3*x^2 + 2*x + 15)/(x + 4)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-25002500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−4x_{1} = -4
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(3x2+2x)+15x+4=0\frac{\left(3 x^{2} + 2 x\right) + 15}{x + 4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (3*x^2 + 2*x + 15)/(x + 4).
(3⋅02+0⋅2)+154\frac{\left(3 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 2\right) + 15}{4}
Resultado:
f(0)=154f{\left(0 \right)} = \frac{15}{4}
Punto:
(0, 15/4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
6x+2x+4−(3x2+2x)+15(x+4)2=0\frac{6 x + 2}{x + 4} - \frac{\left(3 x^{2} + 2 x\right) + 15}{\left(x + 4\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−4+1653x_{1} = -4 + \frac{\sqrt{165}}{3}
x2=−1653−4x_{2} = - \frac{\sqrt{165}}{3} - 4
Signos de extremos en los puntos:
                       /                    2            \ 
                       |      /       _____\        _____| 
                 _____ |      |     \/ 165 |    2*\/ 165 | 
        _____  \/ 165 *|7 + 3*|-4 + -------|  + ---------| 
      \/ 165           \      \        3   /        3    / 
(-4 + -------, -------------------------------------------)
         3                          55                     

                        /                    2            \  
                        |      /       _____\        _____|  
                  _____ |      |     \/ 165 |    2*\/ 165 |  
        _____  -\/ 165 *|7 + 3*|-4 - -------|  - ---------|  
      \/ 165            \      \        3   /        3    /  
(-4 - -------, ---------------------------------------------)
         3                           55


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−4+1653x_{1} = -4 + \frac{\sqrt{165}}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=−1653−4x_{1} = - \frac{\sqrt{165}}{3} - 4
Decrece en los intervalos
(−∞,−1653−4]∪[−4+1653,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{165}}{3} - 4\right] \cup \left[-4 + \frac{\sqrt{165}}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−1653−4,−4+1653]\left[- \frac{\sqrt{165}}{3} - 4, -4 + \frac{\sqrt{165}}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(3−2(3x+1)x+4+3x2+2x+15(x+4)2)x+4=0\frac{2 \left(3 - \frac{2 \left(3 x + 1\right)}{x + 4} + \frac{3 x^{2} + 2 x + 15}{\left(x + 4\right)^{2}}\right)}{x + 4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−4x_{1} = -4
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((3x2+2x)+15x+4)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(3 x^{2} + 2 x\right) + 15}{x + 4}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((3x2+2x)+15x+4)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x^{2} + 2 x\right) + 15}{x + 4}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (3*x^2 + 2*x + 15)/(x + 4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((3x2+2x)+15x(x+4))=3\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(3 x^{2} + 2 x\right) + 15}{x \left(x + 4\right)}\right) = 3
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=3xy = 3 x
lim⁡x→∞((3x2+2x)+15x(x+4))=3\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x^{2} + 2 x\right) + 15}{x \left(x + 4\right)}\right) = 3
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=3xy = 3 x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(3x2+2x)+15x+4=3x2−2x+154−x\frac{\left(3 x^{2} + 2 x\right) + 15}{x + 4} = \frac{3 x^{2} - 2 x + 15}{4 - x}
- No
(3x2+2x)+15x+4=−3x2−2x+154−x\frac{\left(3 x^{2} + 2 x\right) + 15}{x + 4} = - \frac{3 x^{2} - 2 x + 15}{4 - x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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