Sr Examen

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Gráfico de la función y = ((1/(1+exp(-6*cos(x+2/3*pi)))+1/(1+exp(-6*cos(x-2/3*pi))))/2)^(1/6)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
                _______________________________________________
               /           1                       1           
              /  --------------------- + --------------------- 
             /              /    2*pi\              /    2*pi\ 
            /         -6*cos|x + ----|        -6*cos|x - ----| 
           /                \     3  /              \     3  / 
          /      1 + e                   1 + e                 
f(x) = 6 /       --------------------------------------------- 
       \/                              2                       
$$f{\left(x \right)} = \sqrt[6]{\frac{\frac{1}{1 + e^{- 6 \cos{\left(x + \frac{2 \pi}{3} \right)}}} + \frac{1}{1 + e^{- 6 \cos{\left(x - \frac{2 \pi}{3} \right)}}}}{2}}$$
f = ((1/(1 + exp(-6*cos(x + 2*pi/3))) + 1/(1 + exp(-6*cos(x - 2*pi/3))))/2)^(1/6)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt[6]{\frac{\frac{1}{1 + e^{- 6 \cos{\left(x + \frac{2 \pi}{3} \right)}}} + \frac{1}{1 + e^{- 6 \cos{\left(x - \frac{2 \pi}{3} \right)}}}}{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((1/(1 + exp(-6*cos(x + 2*pi/3))) + 1/(1 + exp(-6*cos(x - 2*pi/3))))/2)^(1/6).
$$\sqrt[6]{\frac{\frac{1}{1 + e^{- 6 \cos{\left(\frac{2 \pi}{3} \right)}}} + \frac{1}{1 + e^{- 6 \cos{\left(- \frac{2 \pi}{3} \right)}}}}{2}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{1}{\sqrt[6]{1 + e^{3}}}$$
Punto:
(0, (1 + exp(3))^(-1/6))
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt[6]{\frac{\frac{1}{1 + e^{- 6 \cos{\left(x + \frac{2 \pi}{3} \right)}}} + \frac{1}{1 + e^{- 6 \cos{\left(x - \frac{2 \pi}{3} \right)}}}}{2}} = \left\langle \frac{1}{\sqrt[6]{1 + e^{6}}}, \frac{1}{\sqrt[6]{e^{-6} + 1}}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle \frac{1}{\sqrt[6]{1 + e^{6}}}, \frac{1}{\sqrt[6]{e^{-6} + 1}}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt[6]{\frac{\frac{1}{1 + e^{- 6 \cos{\left(x + \frac{2 \pi}{3} \right)}}} + \frac{1}{1 + e^{- 6 \cos{\left(x - \frac{2 \pi}{3} \right)}}}}{2}} = \left\langle \frac{1}{\sqrt[6]{1 + e^{6}}}, \frac{1}{\sqrt[6]{e^{-6} + 1}}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle \frac{1}{\sqrt[6]{1 + e^{6}}}, \frac{1}{\sqrt[6]{e^{-6} + 1}}\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((1/(1 + exp(-6*cos(x + 2*pi/3))) + 1/(1 + exp(-6*cos(x - 2*pi/3))))/2)^(1/6), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{5}{6}} \sqrt[6]{\frac{1}{1 + e^{- 6 \cos{\left(x + \frac{2 \pi}{3} \right)}}} + \frac{1}{1 + e^{- 6 \cos{\left(x - \frac{2 \pi}{3} \right)}}}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{5}{6}} \sqrt[6]{\frac{1}{1 + e^{- 6 \cos{\left(x + \frac{2 \pi}{3} \right)}}} + \frac{1}{1 + e^{- 6 \cos{\left(x - \frac{2 \pi}{3} \right)}}}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt[6]{\frac{\frac{1}{1 + e^{- 6 \cos{\left(x + \frac{2 \pi}{3} \right)}}} + \frac{1}{1 + e^{- 6 \cos{\left(x - \frac{2 \pi}{3} \right)}}}}{2}} = \sqrt[6]{\frac{1}{2 \left(e^{6 \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}} + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(e^{6 \sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}} + 1\right)}}$$
- No
$$\sqrt[6]{\frac{\frac{1}{1 + e^{- 6 \cos{\left(x + \frac{2 \pi}{3} \right)}}} + \frac{1}{1 + e^{- 6 \cos{\left(x - \frac{2 \pi}{3} \right)}}}}{2}} = - \sqrt[6]{\frac{1}{2 \left(e^{6 \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}} + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(e^{6 \sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}} + 1\right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar