Sr Examen

Gráfico de la función y = 5x²-x+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
          2        
f(x) = 5*x  - x + 1
f(x)=(5x2x)+1f{\left(x \right)} = \left(5 x^{2} - x\right) + 1
f = 5*x^2 - x + 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101001000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(5x2x)+1=0\left(5 x^{2} - x\right) + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 5*x^2 - x + 1.
(5020)+1\left(5 \cdot 0^{2} - 0\right) + 1
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
10x1=010 x - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=110x_{1} = \frac{1}{10}
Signos de extremos en los puntos:
       19 
(1/10, --)
       20 


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=110x_{1} = \frac{1}{10}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[110,)\left[\frac{1}{10}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(,110]\left(-\infty, \frac{1}{10}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
10=010 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
limx((5x2x)+1)=\lim_{x \to -\infty}\left(\left(5 x^{2} - x\right) + 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
limx((5x2x)+1)=\lim_{x \to \infty}\left(\left(5 x^{2} - x\right) + 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 5*x^2 - x + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
limx((5x2x)+1x)=\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(5 x^{2} - x\right) + 1}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
limx((5x2x)+1x)=\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(5 x^{2} - x\right) + 1}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(5x2x)+1=5x2+x+1\left(5 x^{2} - x\right) + 1 = 5 x^{2} + x + 1
- No
(5x2x)+1=5x2x1\left(5 x^{2} - x\right) + 1 = - 5 x^{2} - x - 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar