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cbrt(1+x)^2-cbrt(x^2)-1
Trazado el gráfico de la función/ cbrt(1+x)^2-cbrt(x^2)-1

Gráfico de la función y = cbrt(1+x)^2-cbrt(x^2)-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                2      ____    
       3 _______    3 /  2     
f(x) = \/ 1 + x   - \/  x   - 1
$$f{\left(x \right)} = \left(\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)^{2} - \sqrt[3]{x^{2}}\right) - 1$$ 
f = ((x + 1)^(1/3))^2 - (x^2)^(1/3) - 1
Gráfico de la función
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 \left(x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{3 \left(x + 1\right)} - \frac{2 \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{3 x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{\frac{4}{3}}} - \frac{2 \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{x \sqrt[3]{\left|{x}\right|}} + \frac{3 \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x^{2}}\right)}{9} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)^{2} - \sqrt[3]{x^{2}}\right) - 1\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + \left(-1\right)^{\frac{2}{3}} \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \infty \operatorname{sign}{\left(-1 + \left(-1\right)^{\frac{2}{3}} \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)^{2} - \sqrt[3]{x^{2}}\right) - 1\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = -1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((1 + x)^(1/3))^2 - (x^2)^(1/3) - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)^{2} - \sqrt[3]{x^{2}}\right) - 1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)^{2} - \sqrt[3]{x^{2}}\right) - 1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)^{2} - \sqrt[3]{x^{2}}\right) - 1 = \left(1 - x\right)^{\frac{2}{3}} - \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}} - 1$$
- No
$$\left(\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)^{2} - \sqrt[3]{x^{2}}\right) - 1 = - \left(1 - x\right)^{\frac{2}{3}} + \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}} + 1$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = cbrt(1+x)^2-cbrt(x^2)-1
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