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y=(x-1)(x-2)(x-3)/2-x
Trazado el gráfico de la función/ y=(x-1)(x-2)(x-3)/2-x

Gráfico de la función y = y=(x-1)(x-2)(x-3)/2-x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       (x - 1)*(x - 2)*(x - 3)    
f(x) = ----------------------- - x
                  2
f(x)=−x+(x−2)(x−1)(x−3)2f{\left(x \right)} = - x + \frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x - 3\right)}{2} 
f = -x + (((x - 2)*(x - 1))*(x - 3))/2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-10001000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−x+(x−2)(x−1)(x−3)2=0- x + \frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x - 3\right)}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=13+23+3+23+2x_{1} = \frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{3} + 2}} + \sqrt[3]{\sqrt{3} + 2} + 2
Solución numérica
x1=4.19582334544565x_{1} = 4.19582334544565
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (((x - 1)*(x - 2))*(x - 3))/2 - x.
(−3)(−−2)2−0\frac{\left(-3\right) \left(- -2\right)}{2} - 0
Resultado:
f(0)=−3f{\left(0 \right)} = -3
Punto:
(0, -3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(x−3)(2x−3)2+(x−2)(x−1)2−1=0\frac{\left(x - 3\right) \left(2 x - 3\right)}{2} + \frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{2} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
x2=3x_{2} = 3
Signos de extremos en los puntos:
(1, -1)

(3, -3)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3x_{1} = 3
Puntos máximos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Decrece en los intervalos
(−∞,1]∪[3,∞)\left(-\infty, 1\right] \cup \left[3, \infty\right)
Crece en los intervalos
[1,3]\left[1, 3\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3(x−2)=03 \left(x - 2\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2x_{1} = 2

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2,∞)\left[2, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,2]\left(-\infty, 2\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−x+(x−2)(x−1)(x−3)2)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x - 3\right)}{2}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−x+(x−2)(x−1)(x−3)2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(- x + \frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x - 3\right)}{2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (((x - 1)*(x - 2))*(x - 3))/2 - x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−x+(x−2)(x−1)(x−3)2x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x + \frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x - 3\right)}{2}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(−x+(x−2)(x−1)(x−3)2x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + \frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x - 3\right)}{2}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−x+(x−2)(x−1)(x−3)2=x+(−x−3)(−x−2)(−x−1)2- x + \frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x - 3\right)}{2} = x + \frac{\left(- x - 3\right) \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)}{2}
- No
−x+(x−2)(x−1)(x−3)2=−x−(−x−3)(−x−2)(−x−1)2- x + \frac{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(x - 3\right)}{2} = - x - \frac{\left(- x - 3\right) \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)}{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=(x-1)(x-2)(x-3)/2-x
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