Sr Examen

Gráfico de la función y = (ln2+2lnx)xln2x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
f(x) = (log(2) + 2*log(x))*x*log(2*x)
$$f{\left(x \right)} = x \left(2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 x \right)}$$
f = (x*(2*log(x) + log(2)))*log(2*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x \left(2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.5$$
$$x_{2} = 0.707106781186548$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((log(2) + 2*log(x))*x)*log(2*x).
$$0 \left(2 \log{\left(0 \right)} + \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(0 \cdot 2 \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)} + 2\right) \log{\left(2 x \right)} + 2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\sqrt[4]{2} e^{-1 + \frac{\sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 16}}{4}}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt[4]{2}}{2 e^{1 + \frac{\sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 16}}{4}}}$$
Signos de extremos en los puntos:
                                      /     /               ______________\         \                                                            
                                      |     |              /         2    |         |          ______________    /               ______________\ 
                ______________        |     |            \/  16 + log (2) |         |         /         2        |              /         2    | 
               /         2            |     |       -1 + -----------------|         |       \/  16 + log (2)     |            \/  16 + log (2) | 
             \/  16 + log (2)         |     |4 ___               4        |         |  -1 + -----------------    |       -1 + -----------------| 
        -1 + -----------------  4 ___ |     |\/ 2 *e                      |         |               4            |4 ___               4        | 
 4 ___               4          \/ 2 *|2*log|-----------------------------| + log(2)|*e                      *log\\/ 2 *e                      / 
 \/ 2 *e                              \     \              2              /         /                                                            
(-----------------------------, ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
               2                                                                       2                                                         

                                      /     /               ______________\         \                                                            
                                      |     |              /         2    |         |          ______________    /               ______________\ 
                ______________        |     |            \/  16 + log (2) |         |         /         2        |              /         2    | 
               /         2            |     |       -1 - -----------------|         |       \/  16 + log (2)     |            \/  16 + log (2) | 
             \/  16 + log (2)         |     |4 ___               4        |         |  -1 - -----------------    |       -1 - -----------------| 
        -1 - -----------------  4 ___ |     |\/ 2 *e                      |         |               4            |4 ___               4        | 
 4 ___               4          \/ 2 *|2*log|-----------------------------| + log(2)|*e                      *log\\/ 2 *e                      / 
 \/ 2 *e                              \     \              2              /         /                                                            
(-----------------------------, ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
               2                                                                       2                                                         


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt[4]{2} e^{-1 + \frac{\sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 16}}{4}}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt[4]{2}}{2 e^{1 + \frac{\sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 16}}{4}}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\sqrt[4]{2}}{2 e^{1 + \frac{\sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 16}}{4}}}\right] \cup \left[\frac{\sqrt[4]{2} e^{-1 + \frac{\sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 16}}{4}}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{\sqrt[4]{2}}{2 e^{1 + \frac{\sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 16}}{4}}}, \frac{\sqrt[4]{2} e^{-1 + \frac{\sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 16}}{4}}}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \log{\left(x \right)} + 2 \log{\left(2 x \right)} + \log{\left(2 \right)} + 4}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\sqrt[4]{2}}{2 e}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{\sqrt[4]{2}}{2 e}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\sqrt[4]{2}}{2 e}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 x \right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 x \right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((log(2) + 2*log(x))*x)*log(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 x \right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 x \right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x \left(2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 x \right)} = - x \left(2 \log{\left(- x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(- 2 x \right)}$$
- No
$$x \left(2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 x \right)} = x \left(2 \log{\left(- x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(- 2 x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar