Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x*sqrt(1-x^2)
-
(1/3)^x
-
(x^3+x)/(x^2+2*x+3)
-
6x^2-x^3
-
Expresiones idénticas
- (ln2+2lnx)xln2x
- (ln2 más 2lnx)xln2x
- ln2+2lnxxln2x
-
Expresiones semejantes
- (ln2+2lnx)x^ln2x
- (ln2-2lnx)xln2x
Gráfico de la función y = (ln2+2lnx)xln2x
Solución
Ha introducido
[src]
f(x) = (log(2) + 2*log(x))*x*log(2*x)
$$f{\left(x \right)} = x \left(2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 x \right)}$$
f = (x*(2*log(x) + log(2)))*log(2*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x \left(2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.5$$
$$x_{2} = 0.707106781186548$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x \left(2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.5$$
$$x_{2} = 0.707106781186548$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)} + 2\right) \log{\left(2 x \right)} + 2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\sqrt[4]{2} e^{-1 + \frac{\sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 16}}{4}}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt[4]{2}}{2 e^{1 + \frac{\sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 16}}{4}}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt[4]{2} e^{-1 + \frac{\sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 16}}{4}}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt[4]{2}}{2 e^{1 + \frac{\sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 16}}{4}}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\sqrt[4]{2}}{2 e^{1 + \frac{\sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 16}}{4}}}\right] \cup \left[\frac{\sqrt[4]{2} e^{-1 + \frac{\sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 16}}{4}}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{\sqrt[4]{2}}{2 e^{1 + \frac{\sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 16}}{4}}}, \frac{\sqrt[4]{2} e^{-1 + \frac{\sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 16}}{4}}}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)} + 2\right) \log{\left(2 x \right)} + 2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\sqrt[4]{2} e^{-1 + \frac{\sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 16}}{4}}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt[4]{2}}{2 e^{1 + \frac{\sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 16}}{4}}}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ / ______________\ \
| | / 2 | | ______________ / ______________\
______________ | | \/ 16 + log (2) | | / 2 | / 2 |
/ 2 | | -1 + -----------------| | \/ 16 + log (2) | \/ 16 + log (2) |
\/ 16 + log (2) | |4 ___ 4 | | -1 + ----------------- | -1 + -----------------|
-1 + ----------------- 4 ___ | |\/ 2 *e | | 4 |4 ___ 4 |
4 ___ 4 \/ 2 *|2*log|-----------------------------| + log(2)|*e *log\\/ 2 *e /
\/ 2 *e \ \ 2 / /
(-----------------------------, ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
2 2 / / ______________\ \
| | / 2 | | ______________ / ______________\
______________ | | \/ 16 + log (2) | | / 2 | / 2 |
/ 2 | | -1 - -----------------| | \/ 16 + log (2) | \/ 16 + log (2) |
\/ 16 + log (2) | |4 ___ 4 | | -1 - ----------------- | -1 - -----------------|
-1 - ----------------- 4 ___ | |\/ 2 *e | | 4 |4 ___ 4 |
4 ___ 4 \/ 2 *|2*log|-----------------------------| + log(2)|*e *log\\/ 2 *e /
\/ 2 *e \ \ 2 / /
(-----------------------------, ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
2 2 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt[4]{2} e^{-1 + \frac{\sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 16}}{4}}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt[4]{2}}{2 e^{1 + \frac{\sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 16}}{4}}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\sqrt[4]{2}}{2 e^{1 + \frac{\sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 16}}{4}}}\right] \cup \left[\frac{\sqrt[4]{2} e^{-1 + \frac{\sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 16}}{4}}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{\sqrt[4]{2}}{2 e^{1 + \frac{\sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 16}}{4}}}, \frac{\sqrt[4]{2} e^{-1 + \frac{\sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 16}}{4}}}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \log{\left(x \right)} + 2 \log{\left(2 x \right)} + \log{\left(2 \right)} + 4}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\sqrt[4]{2}}{2 e}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{\sqrt[4]{2}}{2 e}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\sqrt[4]{2}}{2 e}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \log{\left(x \right)} + 2 \log{\left(2 x \right)} + \log{\left(2 \right)} + 4}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\sqrt[4]{2}}{2 e}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{\sqrt[4]{2}}{2 e}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\sqrt[4]{2}}{2 e}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 x \right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 x \right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 x \right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 x \right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((log(2) + 2*log(x))*x)*log(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 x \right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 x \right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 x \right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 x \right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x \left(2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 x \right)} = - x \left(2 \log{\left(- x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(- 2 x \right)}$$
- No
$$x \left(2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 x \right)} = x \left(2 \log{\left(- x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(- 2 x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$x \left(2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 x \right)} = - x \left(2 \log{\left(- x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(- 2 x \right)}$$
- No
$$x \left(2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 x \right)} = x \left(2 \log{\left(- x \right)} + \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(- 2 x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar