Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\left(2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)} + 2\right) \log{\left(2 x \right)} + 2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\sqrt[4]{2} e^{-1 + \frac{\sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 16}}{4}}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt[4]{2}}{2 e^{1 + \frac{\sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 16}}{4}}}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ / ______________\ \
| | / 2 | | ______________ / ______________\
______________ | | \/ 16 + log (2) | | / 2 | / 2 |
/ 2 | | -1 + -----------------| | \/ 16 + log (2) | \/ 16 + log (2) |
\/ 16 + log (2) | |4 ___ 4 | | -1 + ----------------- | -1 + -----------------|
-1 + ----------------- 4 ___ | |\/ 2 *e | | 4 |4 ___ 4 |
4 ___ 4 \/ 2 *|2*log|-----------------------------| + log(2)|*e *log\\/ 2 *e /
\/ 2 *e \ \ 2 / /
(-----------------------------, ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
2 2
/ / ______________\ \
| | / 2 | | ______________ / ______________\
______________ | | \/ 16 + log (2) | | / 2 | / 2 |
/ 2 | | -1 - -----------------| | \/ 16 + log (2) | \/ 16 + log (2) |
\/ 16 + log (2) | |4 ___ 4 | | -1 - ----------------- | -1 - -----------------|
-1 - ----------------- 4 ___ | |\/ 2 *e | | 4 |4 ___ 4 |
4 ___ 4 \/ 2 *|2*log|-----------------------------| + log(2)|*e *log\\/ 2 *e /
\/ 2 *e \ \ 2 / /
(-----------------------------, ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
2 2
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt[4]{2} e^{-1 + \frac{\sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 16}}{4}}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt[4]{2}}{2 e^{1 + \frac{\sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 16}}{4}}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\sqrt[4]{2}}{2 e^{1 + \frac{\sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 16}}{4}}}\right] \cup \left[\frac{\sqrt[4]{2} e^{-1 + \frac{\sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 16}}{4}}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{\sqrt[4]{2}}{2 e^{1 + \frac{\sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 16}}{4}}}, \frac{\sqrt[4]{2} e^{-1 + \frac{\sqrt{\log{\left(2 \right)}^{2} + 16}}{4}}}{2}\right]$$