Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=(x+1)^3
-
y=2x
-
2*x^3-3*x
-
3-x^2
-
Expresiones idénticas
- (x- tres)^ dos (dos x+ tres)/((x- uno)^ tres (x-2))
- (x menos 3) al cuadrado (2x más 3) dividir por ((x menos 1) al cubo (x menos 2))
- (x menos tres) en el grado dos (dos x más tres) dividir por ((x menos uno) en el grado tres (x menos 2))
- (x-3)2(2x+3)/((x-1)3(x-2))
- x-322x+3/x-13x-2
- (x-3)²(2x+3)/((x-1)³(x-2))
- (x-3) en el grado 2(2x+3)/((x-1) en el grado 3(x-2))
- x-3^22x+3/x-1^3x-2
- (x-3)^2(2x+3) dividir por ((x-1)^3(x-2))
-
Expresiones semejantes
- (x-3)^2(2x+3)/((x+1)^3(x-2))
- (x+3)^2(2x+3)/((x-1)^3(x-2))
- (x-3)^2(2x+3)/((x-1)^3(x+2))
- (x-3)^2(2x-3)/((x-1)^3(x-2))
Gráfico de la función y = (x-3)^2(2x+3)/((x-1)^3(x-2))
Solución
Ha introducido
[src]
2
(x - 3) *(2*x + 3)
f(x) = ------------------
3
(x - 1) *(x - 2)
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}}$$
f = ((x - 3)^2*(2*x + 3))/(((x - 2)*(x - 1)^3))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1.5$$
$$x_{2} = 3$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1.5$$
$$x_{2} = 3$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}} \left(2 \left(x - 3\right)^{2} + \left(2 x - 6\right) \left(2 x + 3\right)\right) + \frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right) \left(- 3 \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{2} - \left(x - 1\right)^{3}\right)}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)^{6}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = \frac{4}{3} - \frac{\sqrt[3]{\frac{473}{4} + \frac{9 \sqrt{32865} i}{4}}}{3} - \frac{113}{6 \sqrt[3]{\frac{473}{4} + \frac{9 \sqrt{32865} i}{4}}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{226} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{9 \sqrt{32865}}{473} \right)}}{3} \right)}}{3} + \frac{4}{3}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[3, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{226} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{9 \sqrt{32865}}{473} \right)}}{3} \right)}}{3} + \frac{4}{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}} \left(2 \left(x - 3\right)^{2} + \left(2 x - 6\right) \left(2 x + 3\right)\right) + \frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right) \left(- 3 \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{2} - \left(x - 1\right)^{3}\right)}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)^{6}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = \frac{4}{3} - \frac{\sqrt[3]{\frac{473}{4} + \frac{9 \sqrt{32865} i}{4}}}{3} - \frac{113}{6 \sqrt[3]{\frac{473}{4} + \frac{9 \sqrt{32865} i}{4}}}$$
Signos de extremos en los puntos:
(3, 0)
2
/ _____________________\ / _____________________\
| / _______ | | / _______ |
| / 473 9*I*\/ 32865 | | / 473 9*I*\/ 32865 |
| 3 / --- + ------------- | | 2*3 / --- + ------------- |
| 5 113 \/ 4 4 | |17 113 \/ 4 4 |
|- - - ---------------------------- - --------------------------| *|-- - ---------------------------- - ----------------------------|
_____________________ | 3 _____________________ 3 | |3 _____________________ 3 |
/ _______ | / _______ | | / _______ |
/ 473 9*I*\/ 32865 | / 473 9*I*\/ 32865 | | / 473 9*I*\/ 32865 |
3 / --- + ------------- | 6*3 / --- + ------------- | | 3*3 / --- + ------------- |
4 113 \/ 4 4 \ \/ 4 4 / \ \/ 4 4 /
(- - ---------------------------- - --------------------------, -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
3 _____________________ 3 3
/ _______ / _____________________\ / _____________________\
/ 473 9*I*\/ 32865 | / _______ | | / _______ |
6*3 / --- + ------------- | / 473 9*I*\/ 32865 | | / 473 9*I*\/ 32865 |
\/ 4 4 | 3 / --- + ------------- | | 3 / --- + ------------- |
| 2 113 \/ 4 4 | |1 113 \/ 4 4 |
|- - - ---------------------------- - --------------------------|*|- - ---------------------------- - --------------------------|
| 3 _____________________ 3 | |3 _____________________ 3 |
| / _______ | | / _______ |
| / 473 9*I*\/ 32865 | | / 473 9*I*\/ 32865 |
| 6*3 / --- + ------------- | | 6*3 / --- + ------------- |
\ \/ 4 4 / \ \/ 4 4 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{226} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{9 \sqrt{32865}}{473} \right)}}{3} \right)}}{3} + \frac{4}{3}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[3, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{226} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{9 \sqrt{32865}}{473} \right)}}{3} \right)}}{3} + \frac{4}{3}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{12 x \left(x - 3\right) \left(4 x - 7\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + 12 x + \frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right) \left(\left(4 x - 7\right) \left(\frac{3}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - \frac{6 \left(2 x - 3\right)}{x - 1} + \frac{3 \left(4 x - 7\right)}{x - 1} + \frac{4 x - 7}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} - 18}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -4.9039856937454$$
$$x_{2} = 3.34845030406405$$
$$x_{3} = 7.45396900161805$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- \frac{12 x \left(x - 3\right) \left(4 x - 7\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + 12 x + \frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right) \left(\left(4 x - 7\right) \left(\frac{3}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - \frac{6 \left(2 x - 3\right)}{x - 1} + \frac{3 \left(4 x - 7\right)}{x - 1} + \frac{4 x - 7}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} - 18}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- \frac{12 x \left(x - 3\right) \left(4 x - 7\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + 12 x + \frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right) \left(\left(4 x - 7\right) \left(\frac{3}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - \frac{6 \left(2 x - 3\right)}{x - 1} + \frac{3 \left(4 x - 7\right)}{x - 1} + \frac{4 x - 7}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} - 18}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{- \frac{12 x \left(x - 3\right) \left(4 x - 7\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + 12 x + \frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right) \left(\left(4 x - 7\right) \left(\frac{3}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - \frac{6 \left(2 x - 3\right)}{x - 1} + \frac{3 \left(4 x - 7\right)}{x - 1} + \frac{4 x - 7}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} - 18}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{- \frac{12 x \left(x - 3\right) \left(4 x - 7\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + 12 x + \frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right) \left(\left(4 x - 7\right) \left(\frac{3}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - \frac{6 \left(2 x - 3\right)}{x - 1} + \frac{3 \left(4 x - 7\right)}{x - 1} + \frac{4 x - 7}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} - 18}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-4.9039856937454, 3.34845030406405\right] \cup \left[7.45396900161805, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -4.9039856937454\right] \cup \left[3.34845030406405, 7.45396900161805\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{12 x \left(x - 3\right) \left(4 x - 7\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + 12 x + \frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right) \left(\left(4 x - 7\right) \left(\frac{3}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - \frac{6 \left(2 x - 3\right)}{x - 1} + \frac{3 \left(4 x - 7\right)}{x - 1} + \frac{4 x - 7}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} - 18}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -4.9039856937454$$
$$x_{2} = 3.34845030406405$$
$$x_{3} = 7.45396900161805$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- \frac{12 x \left(x - 3\right) \left(4 x - 7\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + 12 x + \frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right) \left(\left(4 x - 7\right) \left(\frac{3}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - \frac{6 \left(2 x - 3\right)}{x - 1} + \frac{3 \left(4 x - 7\right)}{x - 1} + \frac{4 x - 7}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} - 18}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- \frac{12 x \left(x - 3\right) \left(4 x - 7\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + 12 x + \frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right) \left(\left(4 x - 7\right) \left(\frac{3}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - \frac{6 \left(2 x - 3\right)}{x - 1} + \frac{3 \left(4 x - 7\right)}{x - 1} + \frac{4 x - 7}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} - 18}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{- \frac{12 x \left(x - 3\right) \left(4 x - 7\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + 12 x + \frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right) \left(\left(4 x - 7\right) \left(\frac{3}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - \frac{6 \left(2 x - 3\right)}{x - 1} + \frac{3 \left(4 x - 7\right)}{x - 1} + \frac{4 x - 7}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} - 18}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{- \frac{12 x \left(x - 3\right) \left(4 x - 7\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + 12 x + \frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right) \left(\left(4 x - 7\right) \left(\frac{3}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - \frac{6 \left(2 x - 3\right)}{x - 1} + \frac{3 \left(4 x - 7\right)}{x - 1} + \frac{4 x - 7}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} - 18}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-4.9039856937454, 3.34845030406405\right] \cup \left[7.45396900161805, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -4.9039856937454\right] \cup \left[3.34845030406405, 7.45396900161805\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x - 3)^2*(2*x + 3))/(((x - 1)^3*(x - 2))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}} \left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}} \left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}} \left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}} \left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}} = \frac{\left(3 - 2 x\right) \left(- x - 3\right)^{2}}{\left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)^{3}}$$
- No
$$\frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}} = - \frac{\left(3 - 2 x\right) \left(- x - 3\right)^{2}}{\left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)^{3}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}} = \frac{\left(3 - 2 x\right) \left(- x - 3\right)^{2}}{\left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)^{3}}$$
- No
$$\frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{3}} = - \frac{\left(3 - 2 x\right) \left(- x - 3\right)^{2}}{\left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)^{3}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar