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(x^3+4)^2
Trazado el gráfico de la función/ (x^3+4)^2

Gráfico de la función y = (x^3+4)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
               2
       / 3    \ 
f(x) = \x  + 4/
f(x)=(x3+4)2f{\left(x \right)} = \left(x^{3} + 4\right)^{2} 
f = (x^3 + 4)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x3+4)2=0\left(x^{3} + 4\right)^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−223x_{1} = - 2^{\frac{2}{3}}
Solución numérica
x1=−1.5874010519682x_{1} = -1.5874010519682
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^3 + 4)^2.
(03+4)2\left(0^{3} + 4\right)^{2}
Resultado:
f(0)=16f{\left(0 \right)} = 16
Punto:
(0, 16)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
6x2(x3+4)=06 x^{2} \left(x^{3} + 4\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−223x_{2} = - 2^{\frac{2}{3}}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 16)

   2/3    
(-2  , 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−223x_{1} = - 2^{\frac{2}{3}}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−223,∞)\left[- 2^{\frac{2}{3}}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−223]\left(-\infty, - 2^{\frac{2}{3}}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6x(5x3+8)=06 x \left(5 x^{3} + 8\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−2⋅5235x_{2} = - \frac{2 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{5}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−2⋅5235]∪[0,∞)\left(-\infty, - \frac{2 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{5}\right] \cup \left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−2⋅5235,0]\left[- \frac{2 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{5}, 0\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x3+4)2=∞\lim_{x \to -\infty} \left(x^{3} + 4\right)^{2} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x3+4)2=∞\lim_{x \to \infty} \left(x^{3} + 4\right)^{2} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^3 + 4)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x3+4)2x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{3} + 4\right)^{2}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x3+4)2x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{3} + 4\right)^{2}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x3+4)2=(4−x3)2\left(x^{3} + 4\right)^{2} = \left(4 - x^{3}\right)^{2}
- No
(x3+4)2=−(4−x3)2\left(x^{3} + 4\right)^{2} = - \left(4 - x^{3}\right)^{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x^3+4)^2
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