Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arcsin(x^2-1)

Gráfico de la función y = arcsin(x^2-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           / 2    \
f(x) = asin\x  - 1/
f(x)=asin⁡(x2−1)f{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(x^{2} - 1 \right)} 
f = asin(x^2 - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102.5-2.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
asin⁡(x2−1)=0\operatorname{asin}{\left(x^{2} - 1 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
x2=−1x_{2} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en asin(x^2 - 1).
asin⁡(−1+02)\operatorname{asin}{\left(-1 + 0^{2} \right)}
Resultado:
f(0)=−π2f{\left(0 \right)} = - \frac{\pi}{2}
Punto:
(0, -pi/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x1−(x2−1)2=0\frac{2 x}{\sqrt{1 - \left(x^{2} - 1\right)^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(2x2(x2−1)1−(x2−1)2+1)1−(x2−1)2=0\frac{2 \left(\frac{2 x^{2} \left(x^{2} - 1\right)}{1 - \left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)}{\sqrt{1 - \left(x^{2} - 1\right)^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞asin⁡(x2−1)=−∞i\lim_{x \to -\infty} \operatorname{asin}{\left(x^{2} - 1 \right)} = - \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞asin⁡(x2−1)=−∞i\lim_{x \to \infty} \operatorname{asin}{\left(x^{2} - 1 \right)} = - \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función asin(x^2 - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(asin⁡(x2−1)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x^{2} - 1 \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(asin⁡(x2−1)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x^{2} - 1 \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
asin⁡(x2−1)=asin⁡(x2−1)\operatorname{asin}{\left(x^{2} - 1 \right)} = \operatorname{asin}{\left(x^{2} - 1 \right)}
- Sí
asin⁡(x2−1)=−asin⁡(x2−1)\operatorname{asin}{\left(x^{2} - 1 \right)} = - \operatorname{asin}{\left(x^{2} - 1 \right)}
- No
es decir, función
es
par
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