Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x^((3/(1+x))^2)

Gráfico de la función y = x^((3/(1+x))^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        /       2\
        |/  3  \ |
        ||-----| |
        \\1 + x/ /
f(x) = x
f(x)=x(3x+1)2f{\left(x \right)} = x^{\left(\frac{3}{x + 1}\right)^{2}} 
f = x^((3/(x + 1))^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101004
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x(3x+1)2=0x^{\left(\frac{3}{x + 1}\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^((3/(1 + x))^2).
0(31)20^{\left(\frac{3}{1}\right)^{2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x(3x+1)2(−54(x3+13)log⁡(x)(x+1)4+91(x+1)2x)=0x^{\left(\frac{3}{x + 1}\right)^{2}} \left(- \frac{54 \left(\frac{x}{3} + \frac{1}{3}\right) \log{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{4}} + \frac{9 \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}}{x}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=eW(12e12)+12x_{1} = e^{W\left(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}}\right) + \frac{1}{2}}
Signos de extremos en los puntos:
                     /     / -1/2\\   
                     |1    |e    ||   
                   9*|- + W|-----||   
                     \2    \  2  //   
                 -------------------- 
                                    2 
                 /          / -1/2\\  
       / -1/2\   |     1    |e    ||  
  1    |e    |   |     - + W|-----||  
  - + W|-----|   |     2    \  2  /|  
  2    \  2  /   \1 + e            /  
(e           , e                    )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=eW(12e12)+12x_{1} = e^{W\left(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}}\right) + \frac{1}{2}}
Decrece en los intervalos
(−∞,eW(12e12)+12]\left(-\infty, e^{W\left(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}}\right) + \frac{1}{2}}\right]
Crece en los intervalos
[eW(12e12)+12,∞)\left[e^{W\left(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}}\right) + \frac{1}{2}}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
9x9(x+1)2(9(2log⁡(x)x+1−1x)2(x+1)2+6log⁡(x)(x+1)2−4x(x+1)−1x2)(x+1)2=0\frac{9 x^{\frac{9}{\left(x + 1\right)^{2}}} \left(\frac{9 \left(\frac{2 \log{\left(x \right)}}{x + 1} - \frac{1}{x}\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{6 \log{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{4}{x \left(x + 1\right)} - \frac{1}{x^{2}}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=4832.47834960756x_{1} = 4832.47834960756
x2=4569.968609107x_{2} = 4569.968609107
x3=8466.01624232419x_{3} = 8466.01624232419
x4=11031.1199338432x_{4} = 11031.1199338432
x5=11286.6908308816x_{5} = 11286.6908308816
x6=6397.81373334617x_{6} = 6397.81373334617
x7=5094.46740736783x_{7} = 5094.46740736783
x8=9237.52863982878x_{8} = 9237.52863982878
x9=6657.35711717897x_{9} = 6657.35711717897
x10=4306.89487587351x_{10} = 4306.89487587351
x11=12307.5441617714x_{11} = 12307.5441617714
x12=10775.3964371149x_{12} = 10775.3964371149
x13=12052.5364589005x_{13} = 12052.5364589005
x14=7692.47063094215x_{14} = 7692.47063094215
x15=5355.97431409681x_{15} = 5355.97431409681
x16=10263.470103494x_{16} = 10263.470103494
x17=7950.56287293851x_{17} = 7950.56287293851
x18=9494.29198109903x_{18} = 9494.29198109903
x19=12817.1725735769x_{19} = 12817.1725735769
x20=7434.11828397989x_{20} = 7434.11828397989
x21=5877.67518730549x_{21} = 5877.67518730549
x22=6916.57722780868x_{22} = 6916.57722780868
x23=13071.8006465336x_{23} = 13071.8006465336
x24=12562.4216073949x_{24} = 12562.4216073949
x25=9750.8651997947x_{25} = 9750.8651997947
x26=13326.3092344447x_{26} = 13326.3092344447
x27=8980.56731315476x_{27} = 8980.56731315476
x28=5617.03337401649x_{28} = 5617.03337401649
x29=3.03051165332551x_{29} = 3.03051165332551
x30=7175.49214109426x_{30} = 7175.49214109426
x31=10007.2556254089x_{31} = 10007.2556254089
x32=11797.3945144747x_{32} = 11797.3945144747
x33=8723.39954896706x_{33} = 8723.39954896706
x34=10519.5150394003x_{34} = 10519.5150394003
x35=8208.40756304288x_{35} = 8208.40756304288
x36=6137.92712272583x_{36} = 6137.92712272583
x37=11542.1141212484x_{37} = 11542.1141212484
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1

lim⁡x→−1−(9x9(x+1)2(9(2log⁡(x)x+1−1x)2(x+1)2+6log⁡(x)(x+1)2−4x(x+1)−1x2)(x+1)2)=0\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{9 x^{\frac{9}{\left(x + 1\right)^{2}}} \left(\frac{9 \left(\frac{2 \log{\left(x \right)}}{x + 1} - \frac{1}{x}\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{6 \log{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{4}{x \left(x + 1\right)} - \frac{1}{x^{2}}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0
lim⁡x→−1+(9x9(x+1)2(9(2log⁡(x)x+1−1x)2(x+1)2+6log⁡(x)(x+1)2−4x(x+1)−1x2)(x+1)2)=0\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{9 x^{\frac{9}{\left(x + 1\right)^{2}}} \left(\frac{9 \left(\frac{2 \log{\left(x \right)}}{x + 1} - \frac{1}{x}\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{6 \log{\left(x \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{4}{x \left(x + 1\right)} - \frac{1}{x^{2}}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = 0
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[3.03051165332551,∞)\left[3.03051165332551, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,3.03051165332551]\left(-\infty, 3.03051165332551\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞x(3x+1)2=1\lim_{x \to -\infty} x^{\left(\frac{3}{x + 1}\right)^{2}} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞x(3x+1)2=1\lim_{x \to \infty} x^{\left(\frac{3}{x + 1}\right)^{2}} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^((3/(1 + x))^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x(3x+1)2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{\left(\frac{3}{x + 1}\right)^{2}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x(3x+1)2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{\left(\frac{3}{x + 1}\right)^{2}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x(3x+1)2=(−x)9(1−x)2x^{\left(\frac{3}{x + 1}\right)^{2}} = \left(- x\right)^{\frac{9}{\left(1 - x\right)^{2}}}
- No
x(3x+1)2=−(−x)9(1−x)2x^{\left(\frac{3}{x + 1}\right)^{2}} = - \left(- x\right)^{\frac{9}{\left(1 - x\right)^{2}}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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