Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$4 x^{3} - 24 x^{2} + 36 x - 48 = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{\sqrt[3]{2 \sqrt{6} + 5}} + 2 + \sqrt[3]{2 \sqrt{6} + 5}$$
Signos de extremos en los puntos:
4 3 2
_____________ / _____________\ _____________ / _____________\ / _____________\
1 3 / ___ | 1 3 / ___ | 48 3 / ___ | 1 3 / ___ | | 1 3 / ___ |
(2 + ---------------- + \/ 5 + 2*\/ 6 , -65 + |2 + ---------------- + \/ 5 + 2*\/ 6 | - ---------------- - 48*\/ 5 + 2*\/ 6 - 8*|2 + ---------------- + \/ 5 + 2*\/ 6 | + 18*|2 + ---------------- + \/ 5 + 2*\/ 6 | )
_____________ | _____________ | _____________ | _____________ | | _____________ |
3 / ___ | 3 / ___ | 3 / ___ | 3 / ___ | | 3 / ___ |
\/ 5 + 2*\/ 6 \ \/ 5 + 2*\/ 6 / \/ 5 + 2*\/ 6 \ \/ 5 + 2*\/ 6 / \ \/ 5 + 2*\/ 6 /
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{\sqrt[3]{2 \sqrt{6} + 5}} + 2 + \sqrt[3]{2 \sqrt{6} + 5}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{\sqrt[3]{2 \sqrt{6} + 5}} + 2 + \sqrt[3]{2 \sqrt{6} + 5}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{\sqrt[3]{2 \sqrt{6} + 5}} + 2 + \sqrt[3]{2 \sqrt{6} + 5}\right]$$