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x^4-8x^3+18x^2-48x+31

Gráfico de la función y = x^4-8x^3+18x^2-48x+31

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
        4      3       2            
f(x) = x  - 8*x  + 18*x  - 48*x + 31
$$f{\left(x \right)} = \left(- 48 x + \left(18 x^{2} + \left(x^{4} - 8 x^{3}\right)\right)\right) + 31$$
f = -48*x + 18*x^2 + x^4 - 8*x^3 + 31
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(- 48 x + \left(18 x^{2} + \left(x^{4} - 8 x^{3}\right)\right)\right) + 31 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = \frac{\sqrt{- \frac{76}{3 \sqrt[3]{58 + \frac{10 \sqrt{4371}}{9}}} + 4 + 2 \sqrt[3]{58 + \frac{10 \sqrt{4371}}{9}}}}{2} + 2 + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{58 + \frac{10 \sqrt{4371}}{9}} + \frac{76}{3 \sqrt[3]{58 + \frac{10 \sqrt{4371}}{9}}} + 8 + \frac{80}{\sqrt{- \frac{76}{3 \sqrt[3]{58 + \frac{10 \sqrt{4371}}{9}}} + 4 + 2 \sqrt[3]{58 + \frac{10 \sqrt{4371}}{9}}}}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{58 + \frac{10 \sqrt{4371}}{9}} + \frac{76}{3 \sqrt[3]{58 + \frac{10 \sqrt{4371}}{9}}} + 8 + \frac{80}{\sqrt{- \frac{76}{3 \sqrt[3]{58 + \frac{10 \sqrt{4371}}{9}}} + 4 + 2 \sqrt[3]{58 + \frac{10 \sqrt{4371}}{9}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{76}{3 \sqrt[3]{58 + \frac{10 \sqrt{4371}}{9}}} + 4 + 2 \sqrt[3]{58 + \frac{10 \sqrt{4371}}{9}}}}{2} + 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 6.21766982072273$$
$$x_{2} = 0.813350737227716$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^4 - 8*x^3 + 18*x^2 - 48*x + 31.
$$\left(\left(\left(0^{4} - 8 \cdot 0^{3}\right) + 18 \cdot 0^{2}\right) - 0\right) + 31$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 31$$
Punto:
(0, 31)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$4 x^{3} - 24 x^{2} + 36 x - 48 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{\sqrt[3]{2 \sqrt{6} + 5}} + 2 + \sqrt[3]{2 \sqrt{6} + 5}$$
Signos de extremos en los puntos:
                                                                                         4                                                                                       3                                               2 
                           _____________        /                          _____________\                             _____________     /                          _____________\       /                          _____________\  
            1           3 /         ___         |           1           3 /         ___ |           48             3 /         ___      |           1           3 /         ___ |       |           1           3 /         ___ |  
(2 + ---------------- + \/  5 + 2*\/ 6 , -65 + |2 + ---------------- + \/  5 + 2*\/ 6  |  - ---------------- - 48*\/  5 + 2*\/ 6   - 8*|2 + ---------------- + \/  5 + 2*\/ 6  |  + 18*|2 + ---------------- + \/  5 + 2*\/ 6  | )
        _____________                           |       _____________                   |       _____________                           |       _____________                   |       |       _____________                   |  
     3 /         ___                            |    3 /         ___                    |    3 /         ___                            |    3 /         ___                    |       |    3 /         ___                    |  
     \/  5 + 2*\/ 6                             \    \/  5 + 2*\/ 6                     /    \/  5 + 2*\/ 6                             \    \/  5 + 2*\/ 6                     /       \    \/  5 + 2*\/ 6                     /  


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{\sqrt[3]{2 \sqrt{6} + 5}} + 2 + \sqrt[3]{2 \sqrt{6} + 5}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{\sqrt[3]{2 \sqrt{6} + 5}} + 2 + \sqrt[3]{2 \sqrt{6} + 5}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{\sqrt[3]{2 \sqrt{6} + 5}} + 2 + \sqrt[3]{2 \sqrt{6} + 5}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$12 \left(x^{2} - 4 x + 3\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 1\right] \cup \left[3, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[1, 3\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 48 x + \left(18 x^{2} + \left(x^{4} - 8 x^{3}\right)\right)\right) + 31\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 48 x + \left(18 x^{2} + \left(x^{4} - 8 x^{3}\right)\right)\right) + 31\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^4 - 8*x^3 + 18*x^2 - 48*x + 31, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 48 x + \left(18 x^{2} + \left(x^{4} - 8 x^{3}\right)\right)\right) + 31}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 48 x + \left(18 x^{2} + \left(x^{4} - 8 x^{3}\right)\right)\right) + 31}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(- 48 x + \left(18 x^{2} + \left(x^{4} - 8 x^{3}\right)\right)\right) + 31 = x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 48 x + 31$$
- No
$$\left(- 48 x + \left(18 x^{2} + \left(x^{4} - 8 x^{3}\right)\right)\right) + 31 = - x^{4} - 8 x^{3} - 18 x^{2} - 48 x - 31$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x^4-8x^3+18x^2-48x+31