Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 3sin(x)+4cos(2x)

Gráfico de la función y = 3sin(x)+4cos(2x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 3*sin(x) + 4*cos(2*x)
f(x)=3sin⁡(x)+4cos⁡(2x)f{\left(x \right)} = 3 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)} 
f = 3*sin(x) + 4*cos(2*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3sin⁡(x)+4cos⁡(2x)=03 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−ilog⁡(−255−313716+i(3+137)16)x_{1} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{55 - 3 \sqrt{137}}}{16} + \frac{i \left(3 + \sqrt{137}\right)}{16} \right)}
x2=−ilog⁡(255−313716+i(3+137)16)x_{2} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{55 - 3 \sqrt{137}}}{16} + \frac{i \left(3 + \sqrt{137}\right)}{16} \right)}
x3=−ilog⁡(−23137+5516+i(3−137)16)x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{3 \sqrt{137} + 55}}{16} + \frac{i \left(3 - \sqrt{137}\right)}{16} \right)}
x4=−ilog⁡(23137+5516+i(3−137)16)x_{4} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3 \sqrt{137} + 55}}{16} + \frac{i \left(3 - \sqrt{137}\right)}{16} \right)}
Solución numérica
x1=82.8470564882148x_{1} = 82.8470564882148
x2=55.973418750655x_{2} = 55.973418750655
x3=99.9557159009121x_{3} = 99.9557159009121
x4=−92.2718344489842x_{4} = -92.2718344489842
x5=26.2983887235986x_{5} = 26.2983887235986
x6=−69.6902873929368x_{6} = -69.6902873929368
x7=47.6991388178082x_{7} = 47.6991388178082
x8=−46.5486407898856x_{8} = -46.5486407898856
x9=52.2414276161463x_{9} = 52.2414276161463
x10=−98.5550197561638x_{10} = -98.5550197561638
x11=−55.3830202697361x_{11} = -55.3830202697361
x12=−31.9911755498593x_{12} = -31.9911755498593
x13=−90.5309379401427x_{13} = -90.5309379401427
x14=−23.9670937338381x_{14} = -23.9670937338381
x15=33.3918716946075x_{15} = 33.3918716946075
x16=24.557492214757x_{16} = 24.557492214757
x17=11.9911216003979x_{17} = 11.9911216003979
x18=20.015203416419x_{18} = 20.015203416419
x19=18.2743069075774x_{19} = 18.2743069075774
x20=−35.7231666843679x_{20} = -35.7231666843679
x21=−61.6662055769156x_{21} = -61.6662055769156
x22=96.2237247664034x_{22} = 96.2237247664034
x23=−33.9822701755264x_{23} = -33.9822701755264
x24=10.0000269747307x_{24} = 10.0000269747307
x25=93.6725305937325x_{25} = 93.6725305937325
x26=89.9405394592238x_{26} = 89.9405394592238
x27=30.8406775219366x_{27} = 30.8406775219366
x28=3.71684166755111x_{28} = 3.71684166755111
x29=97.9646212752449x_{29} = 97.9646212752449
x30=−11.400723119479x_{30} = -11.400723119479
x31=39.6750570017871x_{31} = 39.6750570017871
x32=60.2655094321674x_{32} = 60.2655094321674
x33=68.5397893650141x_{33} = 68.5397893650141
x34=63.9975005666761x_{34} = 63.9975005666761
x35=−75.9734727001164x_{35} = -75.9734727001164
x36=74.8229746721937x_{36} = 74.8229746721937
x37=−48.2895372987271x_{37} = -48.2895372987271
x38=−77.9645673257835x_{38} = -77.9645673257835
x39=−79.705463834625x_{39} = -79.705463834625
x40=−38.2743608570388x_{40} = -38.2743608570388
x41=−65.3981967114243x_{41} = -65.3981967114243
x42=66.548694739347x_{42} = 66.548694739347
x43=70.2806858738557x_{43} = 70.2806858738557
x44=−17.6839084266585x_{44} = -17.6839084266585
x45=−29.4399813771884x_{45} = -29.4399813771884
x46=−10.5904254556496x_{46} = -10.5904254556496
x47=−27.6990848683468x_{47} = -27.6990848683468
x48=−2.56634363962847x_{48} = -2.56634363962847
x49=−84.2477526329631x_{49} = -84.2477526329631
x50=16.2832122819103x_{50} = 16.2832122819103
x51=−99.3653174199932x_{51} = -99.3653174199932
x52=45.9582423089667x_{52} = 45.9582423089667
x53=−4.30724014847001x_{53} = -4.30724014847001
x54=−57.1239167785776x_{54} = -57.1239167785776
x55=81.1061599793733x_{55} = 81.1061599793733
x56=−42.0063519915475x_{56} = -42.0063519915475
x57=−54.5727226059067x_{57} = -54.5727226059067
x58=−25.7079902426797x_{58} = -25.7079902426797
x59=62.2566040578345x_{59} = 62.2566040578345
x60=−19.4248049355001x_{60} = -19.4248049355001
x61=−63.4071020857572x_{61} = -63.4071020857572
x62=91.6814359680653x_{62} = 91.6814359680653
x63=85.3982506608857x_{63} = 85.3982506608857
x64=22.5663975890899x_{64} = 22.5663975890899
x65=41.4159535106286x_{65} = 41.4159535106286
x66=53.9823241249878x_{66} = 53.9823241249878
x67=−74.2325761912748x_{67} = -74.2325761912748
x68=8.25913046588916x_{68} = 8.25913046588916
x69=77.3741688448646x_{69} = 77.3741688448646
x70=83.6573541520442x_{70} = 83.6573541520442
x71=76.5638711810353x_{71} = 76.5638711810353
x72=−40.265455482706x_{72} = -40.265455482706
x73=1.97594515870957x_{73} = 1.97594515870957
x74=−21.4158995611672x_{74} = -21.4158995611672
x75=−85.9886491418046x_{75} = -85.9886491418046
x76=38.8647593379577x_{76} = 38.8647593379577
x77=−71.6813820186039x_{77} = -71.6813820186039
x78=57.7143152594965x_{78} = 57.7143152594965
x79=−13.1416196283205x_{79} = -13.1416196283205
x80=−82.2566580072959x_{80} = -82.2566580072959
x81=−67.9493908840952x_{81} = -67.9493908840952
x82=49.6902334434754x_{82} = 49.6902334434754
x83=32.5815740307781x_{83} = 32.5815740307781
x84=5.70793629321827x_{84} = 5.70793629321827
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 3*sin(x) + 4*cos(2*x).
3sin⁡(0)+4cos⁡(0⋅2)3 \sin{\left(0 \right)} + 4 \cos{\left(0 \cdot 2 \right)}
Resultado:
f(0)=4f{\left(0 \right)} = 4
Punto:
(0, 4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−8sin⁡(2x)+3cos⁡(x)=0- 8 \sin{\left(2 x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=−ilog⁡(−24716+3i16)x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{247}}{16} + \frac{3 i}{16} \right)}
x4=−ilog⁡(24716+3i16)x_{4} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{247}}{16} + \frac{3 i}{16} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi      
(----, -7)
  2       

 pi     
(--, -1)
 2      

       /    _____      \         /     /    _____      \\        /       /    _____      \\ 
       |  \/ 247    3*I|         |     |  \/ 247    3*I||        |       |  \/ 247    3*I|| 
(-I*log|- ------- + ---|, - 3*sin|I*log|- ------- + ---|| + 4*cos|2*I*log|- ------- + ---||)
       \     16      16/         \     \     16      16//        \       \     16      16// 

       /  _____      \         /     /  _____      \\        /       /  _____      \\ 
       |\/ 247    3*I|         |     |\/ 247    3*I||        |       |\/ 247    3*I|| 
(-I*log|------- + ---|, - 3*sin|I*log|------- + ---|| + 4*cos|2*I*log|------- + ---||)
       \   16      16/         \     \   16      16//        \       \   16      16//


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x2=π−atan⁡(3247247)x_{2} = \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{247}}{247} \right)}
x2=atan⁡(3247247)x_{2} = \operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{247}}{247} \right)}
Decrece en los intervalos
[−π2,atan⁡(3247247)]∪[π2,∞)\left[- \frac{\pi}{2}, \operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{247}}{247} \right)}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(3sin⁡(x)+16cos⁡(2x))=0- (3 \sin{\left(x \right)} + 16 \cos{\left(2 x \right)}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−ilog⁡(−21015−331764+i(3+1117)64)x_{1} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{1015 - 33 \sqrt{17}}}{64} + \frac{i \left(3 + 11 \sqrt{17}\right)}{64} \right)}
x2=−ilog⁡(21015−331764+i(3+1117)64)x_{2} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{1015 - 33 \sqrt{17}}}{64} + \frac{i \left(3 + 11 \sqrt{17}\right)}{64} \right)}
x3=−ilog⁡(−23317+101564+i(3−1117)64)x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{33 \sqrt{17} + 1015}}{64} + \frac{i \left(3 - 11 \sqrt{17}\right)}{64} \right)}
x4=−ilog⁡(23317+101564+i(3−1117)64)x_{4} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{33 \sqrt{17} + 1015}}{64} + \frac{i \left(3 - 11 \sqrt{17}\right)}{64} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π−atan⁡(2(3−1117)23317+1015),atan⁡(2(3−1117)23317+1015)]∪[atan⁡(2(3+1117)21015−3317),∞)\left[- \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(3 - 11 \sqrt{17}\right)}{2 \sqrt{33 \sqrt{17} + 1015}} \right)}, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(3 - 11 \sqrt{17}\right)}{2 \sqrt{33 \sqrt{17} + 1015}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(3 + 11 \sqrt{17}\right)}{2 \sqrt{1015 - 33 \sqrt{17}}} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π−atan⁡(2(3−1117)23317+1015)]\left(-\infty, - \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(3 - 11 \sqrt{17}\right)}{2 \sqrt{33 \sqrt{17} + 1015}} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3sin⁡(x)+4cos⁡(2x))=⟨−7,7⟩\lim_{x \to -\infty}\left(3 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -7, 7\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−7,7⟩y = \left\langle -7, 7\right\rangle
lim⁡x→∞(3sin⁡(x)+4cos⁡(2x))=⟨−7,7⟩\lim_{x \to \infty}\left(3 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -7, 7\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−7,7⟩y = \left\langle -7, 7\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3*sin(x) + 4*cos(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3sin⁡(x)+4cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(3sin⁡(x)+4cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3sin⁡(x)+4cos⁡(2x)=−3sin⁡(x)+4cos⁡(2x)3 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)} = - 3 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}
- No
3sin⁡(x)+4cos⁡(2x)=3sin⁡(x)−4cos⁡(2x)3 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)} = 3 \sin{\left(x \right)} - 4 \cos{\left(2 x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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