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Trazado el gráfico de la función/ cbrt(x-1)^2-cbrt(x-2)^2

Gráfico de la función y = cbrt(x-1)^2-cbrt(x-2)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                2            2
       3 _______    3 _______ 
f(x) = \/ x - 1   - \/ x - 2
$$f{\left(x \right)} = - \left(\sqrt[3]{x - 2}\right)^{2} + \left(\sqrt[3]{x - 1}\right)^{2}$$ 
f = -((x - 2)^(1/3))^2 + ((x - 1)^(1/3))^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \left(\sqrt[3]{x - 2}\right)^{2} + \left(\sqrt[3]{x - 1}\right)^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((x - 1)^(1/3))^2 - ((x - 2)^(1/3))^2.
$$- \left(\sqrt[3]{-2}\right)^{2} + \left(\sqrt[3]{-1}\right)^{2}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = - \left(-2\right)^{\frac{2}{3}} + \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}$$
Punto:
(0, (-1)^(2/3) - (-2)^(2/3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 \left(x - 1\right)^{\frac{2}{3}}}{3 \left(x - 1\right)} - \frac{2}{3 \sqrt[3]{x - 2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{1}{\left(x - 1\right)^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{\left(x - 2\right)^{\frac{4}{3}}}\right)}{9} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \left(\sqrt[3]{x - 2}\right)^{2} + \left(\sqrt[3]{x - 1}\right)^{2}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \left(\sqrt[3]{x - 2}\right)^{2} + \left(\sqrt[3]{x - 1}\right)^{2}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x - 1)^(1/3))^2 - ((x - 2)^(1/3))^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \left(\sqrt[3]{x - 2}\right)^{2} + \left(\sqrt[3]{x - 1}\right)^{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt[3]{x - 2}\right)^{2} + \left(\sqrt[3]{x - 1}\right)^{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- \left(\sqrt[3]{x - 2}\right)^{2} + \left(\sqrt[3]{x - 1}\right)^{2} = - \left(- x - 2\right)^{\frac{2}{3}} + \left(- x - 1\right)^{\frac{2}{3}}$$
- No
$$- \left(\sqrt[3]{x - 2}\right)^{2} + \left(\sqrt[3]{x - 1}\right)^{2} = \left(- x - 2\right)^{\frac{2}{3}} - \left(- x - 1\right)^{\frac{2}{3}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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