Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cbrt(x)(x^2+4x)

Gráfico de la función y = cbrt(x)(x^2+4x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       3 ___ / 2      \
f(x) = \/ x *\x  + 4*x/
f(x)=x3(x2+4x)f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{x} \left(x^{2} + 4 x\right) 
f = x^(1/3)*(x^2 + 4*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x3(x2+4x)=0\sqrt[3]{x} \left(x^{2} + 4 x\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−4x_{1} = -4
x2=0x_{2} = 0
x3=(2232−2233i2)3x_{3} = \left(\frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}\right)^{3}
x4=(2232+2233i2)3x_{4} = \left(\frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}\right)^{3}
Solución numérica
x1=−4x_{1} = -4
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^(1/3)*(x^2 + 4*x).
03(02+0⋅4)\sqrt[3]{0} \left(0^{2} + 0 \cdot 4\right)
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x3(2x+4)+x2+4x3x23=0\sqrt[3]{x} \left(2 x + 4\right) + \frac{x^{2} + 4 x}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−167x_{1} = - \frac{16}{7}
Signos de extremos en los puntos:
             3 ____  2/3 
        -384*\/ -2 *7    
(-16/7, ----------------)
              343


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−167x_{1} = - \frac{16}{7}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−167,∞)\left[- \frac{16}{7}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−167]\left(-\infty, - \frac{16}{7}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(x3+2(x+2)3x23−x+49x23)=02 \left(\sqrt[3]{x} + \frac{2 \left(x + 2\right)}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{x + 4}{9 x^{\frac{2}{3}}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−47x_{1} = - \frac{4}{7}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x3(x2+4x))=∞−13\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt[3]{x} \left(x^{2} + 4 x\right)\right) = \infty \sqrt[3]{-1}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=∞−13y = \infty \sqrt[3]{-1}
lim⁡x→∞(x3(x2+4x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt[3]{x} \left(x^{2} + 4 x\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^(1/3)*(x^2 + 4*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2+4xx23)=−∞−13\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 4 x}{x^{\frac{2}{3}}}\right) = - \infty \sqrt[3]{-1}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−∞−13xy = - \infty \sqrt[3]{-1} x
lim⁡x→∞(x2+4xx23)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 4 x}{x^{\frac{2}{3}}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x3(x2+4x)=−x3(x2−4x)\sqrt[3]{x} \left(x^{2} + 4 x\right) = \sqrt[3]{- x} \left(x^{2} - 4 x\right)
- No
x3(x2+4x)=−−x3(x2−4x)\sqrt[3]{x} \left(x^{2} + 4 x\right) = - \sqrt[3]{- x} \left(x^{2} - 4 x\right)
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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