Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cbrt(x^2*(x+9))

Gráfico de la función y = cbrt(x^2*(x+9))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          ____________
       3 /  2         
f(x) = \/  x *(x + 9)
f(x)=x2(x+9)3f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{x^{2} \left(x + 9\right)} 
f = (x^2*(x + 9))^(1/3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010020
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2(x+9)3=0\sqrt[3]{x^{2} \left(x + 9\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−9x_{1} = -9
x2=0x_{2} = 0
Solución numérica
x1=−9x_{1} = -9
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2*(x + 9))^(1/3).
9⋅023\sqrt[3]{9 \cdot 0^{2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x+93∣x∣23(x23+2x(x+9)3)x2(x+9)=0\frac{\sqrt[3]{x + 9} \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}} \left(\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 x \left(x + 9\right)}{3}\right)}{x^{2} \left(x + 9\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−6x_{1} = -6
Signos de extremos en los puntos:
        2/3 
(-6, 3*2   )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−6x_{1} = -6
Decrece en los intervalos
(−∞,−6]\left(-\infty, -6\right]
Crece en los intervalos
[−6,∞)\left[-6, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(x+6)(2x+93sign⁡(x)∣x∣3+∣x∣23(x+9)23)3(x+9)−(x+6)∣x∣23(x+9)53+2(x+3)∣x∣23x(x+9)23−2(x+6)∣x∣23x(x+9)23x=0\frac{\frac{\left(x + 6\right) \left(\frac{2 \sqrt[3]{x + 9} \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\sqrt[3]{\left|{x}\right|}} + \frac{\left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x + 9\right)^{\frac{2}{3}}}\right)}{3 \left(x + 9\right)} - \frac{\left(x + 6\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x + 9\right)^{\frac{5}{3}}} + \frac{2 \left(x + 3\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x \left(x + 9\right)^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 \left(x + 6\right) \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x \left(x + 9\right)^{\frac{2}{3}}}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=34328.4797076874x_{1} = 34328.4797076874
x2=44513.5608559373x_{2} = 44513.5608559373
x3=26682.6693007107x_{3} = 26682.6693007107
x4=38573.1573359146x_{4} = 38573.1573359146
x5=41119.3000506578x_{5} = 41119.3000506578
x6=30931.4108025907x_{6} = 30931.4108025907
x7=35177.5447197473x_{7} = 35177.5447197473
x8=25832.4936534471x_{8} = 25832.4936534471
x9=39421.9196967781x_{9} = 39421.9196967781
x10=29232.2913799573x_{10} = 29232.2913799573
x11=28382.5544830185x_{11} = 28382.5544830185
x12=31780.8124415633x_{12} = 31780.8124415633
x13=36026.5403751441x_{13} = 36026.5403751441
x14=40270.6329135369x_{14} = 40270.6329135369
x15=33479.3400170972x_{15} = 33479.3400170972
x16=43665.0520299614x_{16} = 43665.0520299614
x17=36875.4715015304x_{17} = 36875.4715015304
x18=27532.6847322401x_{18} = 27532.6847322401
x19=37724.342488441x_{19} = 37724.342488441
x20=24131.5932014933x_{20} = 24131.5932014933
x21=41967.9239229017x_{21} = 41967.9239229017
x22=30081.9067858404x_{22} = 30081.9067858404
x23=42816.5071202604x_{23} = 42816.5071202604
x24=24982.141252934x_{24} = 24982.141252934
x25=32630.1197669458x_{25} = 32630.1197669458

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[36875.4715015304,∞)\left[36875.4715015304, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,24131.5932014933]\left(-\infty, 24131.5932014933\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞x2(x+9)3=∞−13\lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{x^{2} \left(x + 9\right)} = \infty \sqrt[3]{-1}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=∞−13y = \infty \sqrt[3]{-1}
lim⁡x→∞x2(x+9)3=∞\lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{x^{2} \left(x + 9\right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2*(x + 9))^(1/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x+93∣x∣23x)=−−13\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt[3]{x + 9} \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x}\right) = - \sqrt[3]{-1}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−−13xy = - \sqrt[3]{-1} x
lim⁡x→∞(x+93∣x∣23x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt[3]{x + 9} \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2(x+9)3=9−x3∣x∣23\sqrt[3]{x^{2} \left(x + 9\right)} = \sqrt[3]{9 - x} \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}
- No
x2(x+9)3=−9−x3∣x∣23\sqrt[3]{x^{2} \left(x + 9\right)} = - \sqrt[3]{9 - x} \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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