Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x/(x-6)^2

Gráfico de la función y = x/(x-6)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          x    
f(x) = --------
              2
       (x - 6)
f(x)=x(x−6)2f{\left(x \right)} = \frac{x}{\left(x - 6\right)^{2}} 
f = x/(x - 6)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2000020000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=6x_{1} = 6
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x(x−6)2=0\frac{x}{\left(x - 6\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x/(x - 6)^2.
0(−6)2\frac{0}{\left(-6\right)^{2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x(12−2x)(x−6)4+1(x−6)2=0\frac{x \left(12 - 2 x\right)}{\left(x - 6\right)^{4}} + \frac{1}{\left(x - 6\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−6x_{1} = -6
Signos de extremos en los puntos:
(-6, -1/24)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−6x_{1} = -6
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−6,∞)\left[-6, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−6]\left(-\infty, -6\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(3xx−6−2)(x−6)3=0\frac{2 \left(\frac{3 x}{x - 6} - 2\right)}{\left(x - 6\right)^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−12x_{1} = -12
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=6x_{1} = 6

lim⁡x→6−(2(3xx−6−2)(x−6)3)=∞\lim_{x \to 6^-}\left(\frac{2 \left(\frac{3 x}{x - 6} - 2\right)}{\left(x - 6\right)^{3}}\right) = \infty
lim⁡x→6+(2(3xx−6−2)(x−6)3)=∞\lim_{x \to 6^+}\left(\frac{2 \left(\frac{3 x}{x - 6} - 2\right)}{\left(x - 6\right)^{3}}\right) = \infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−12,∞)\left[-12, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−12]\left(-\infty, -12\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=6x_{1} = 6
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x(x−6)2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left(x - 6\right)^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(x(x−6)2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x - 6\right)^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/(x - 6)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞1(x−6)2=0\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\left(x - 6\right)^{2}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞1(x−6)2=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\left(x - 6\right)^{2}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x(x−6)2=−x(−x−6)2\frac{x}{\left(x - 6\right)^{2}} = - \frac{x}{\left(- x - 6\right)^{2}}
- No
x(x−6)2=x(−x−6)2\frac{x}{\left(x - 6\right)^{2}} = \frac{x}{\left(- x - 6\right)^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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