Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (x^2+x+4)/(x-4)

Gráfico de la función y = (x^2+x+4)/(x-4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2        
       x  + x + 4
f(x) = ----------
         x - 4
f(x)=(x2+x)+4x−4f{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{2} + x\right) + 4}{x - 4} 
f = (x^2 + x + 4)/(x - 4)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-10001000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=4x_{1} = 4
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x2+x)+4x−4=0\frac{\left(x^{2} + x\right) + 4}{x - 4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 + x + 4)/(x - 4).
02+4−4\frac{0^{2} + 4}{-4}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x+1x−4−(x2+x)+4(x−4)2=0\frac{2 x + 1}{x - 4} - \frac{\left(x^{2} + x\right) + 4}{\left(x - 4\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=4−26x_{1} = 4 - 2 \sqrt{6}
x2=4+26x_{2} = 4 + 2 \sqrt{6}
Signos de extremos en los puntos:
                     /                 2          \  
                 ___ |    /        ___\        ___|  
         ___  -\/ 6 *\8 + \4 - 2*\/ 6 /  - 2*\/ 6 /  
(4 - 2*\/ 6, --------------------------------------)
                                12                   

                    /                 2          \ 
                ___ |    /        ___\        ___| 
         ___  \/ 6 *\8 + \4 + 2*\/ 6 /  + 2*\/ 6 / 
(4 + 2*\/ 6, ------------------------------------)
                               12


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=4+26x_{1} = 4 + 2 \sqrt{6}
Puntos máximos de la función:
x1=4−26x_{1} = 4 - 2 \sqrt{6}
Decrece en los intervalos
(−∞,4−26]∪[4+26,∞)\left(-\infty, 4 - 2 \sqrt{6}\right] \cup \left[4 + 2 \sqrt{6}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[4−26,4+26]\left[4 - 2 \sqrt{6}, 4 + 2 \sqrt{6}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(1−2x+1x−4+x2+x+4(x−4)2)x−4=0\frac{2 \left(1 - \frac{2 x + 1}{x - 4} + \frac{x^{2} + x + 4}{\left(x - 4\right)^{2}}\right)}{x - 4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=4x_{1} = 4
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x2+x)+4x−4)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + x\right) + 4}{x - 4}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x2+x)+4x−4)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + x\right) + 4}{x - 4}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 + x + 4)/(x - 4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x2+x)+4x(x−4))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + x\right) + 4}{x \left(x - 4\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞((x2+x)+4x(x−4))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + x\right) + 4}{x \left(x - 4\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x2+x)+4x−4=x2−x+4−x−4\frac{\left(x^{2} + x\right) + 4}{x - 4} = \frac{x^{2} - x + 4}{- x - 4}
- No
(x2+x)+4x−4=−x2−x+4−x−4\frac{\left(x^{2} + x\right) + 4}{x - 4} = - \frac{x^{2} - x + 4}{- x - 4}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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